おかしな質問だと思いますが、高校レベルの解答を期待します。質問は、
f(x)が2次式のとき、f(x)=0の実数解は、y=f(x)とx軸との交点を表します。では、f(x)=0が虚数解をもつときに、その虚数解は、何を表しているのでしょうか? というか、何かを表しているのでしょうか? 

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

masao_kunさんは、stomachmanの回答をアニメーション化してくださいました。

これも楽しいですね。
ただし、masao_kunさんのおっしゃるx,zは実数であり、stomachmanの回答ではu,vと表されていることにご注意下さい。masao_kunさんの仰るyは実数であるかのように思われますが、これも複素数F+iGとすべきです。だから3次元のグラフ2つ(F用とG用)を使う必要があるんですね。
 複素数xの実係数2次式で表されるいわゆる「放物線」は、実は平行移動と拡大・縮小を気にしないことにすればたった一つしかありません。(たとえば楕円だと、長軸と短軸の長さの比の異なる様々な楕円があるけど、放物線は1種類しかない。)
 u,v平面との幾何学的関係を見る場合、拡大・縮小はこのさいどうでも良いし、原点がどこだろうが本質的ではない。そう考えますと、実係数2次式の場合、
f(x) = x^2+C
すなわち
F(u,v)+iG(u,v)=(u+iv)^2+C
だけ考えれば十分であり、従っていじってみる価値があるのはCだけなんです。つまりこの2つの曲面F(u,v)とG(u,v)をF=G=-cという平面で切ってみる、その切る「高さ」を動かしてみているだけということです。まさにアニメーションにうってつけですね。
    • good
    • 0

stomachmanさんのおっしゃったことを読んでて、


こんなことを考えました。

x^2 はxの2乗です。

b^2-4ac=Dとすると、
2次方程式の解は

x=(-b±√D)/2a

であることはご存知の通りだと思います。

D≧0のときはx軸との交点
D<0のときは、原点Oを通るxy平面に垂直な直線を設け、それをz軸とする。
(xz平面はいわゆる複素数平面です)

視点を変えて、通常眺める平面をxz平面にして、
いわゆる縦軸をy軸にとりなおして、この
関数y=x^2-a と、その解x=±√a
の関係を想像していると、面白くなりそうですよ。

a,bを固定してc(またはD)を変化させるとどんなことになるんだろうね。
例えばx^2=aの解を、aを正の数から負の数に変化させると、
x軸に、原点Oが中点となるような2点が現れ、
aが0に近づくにつれてそれは長さが短くなる。
0になった瞬間それは1点となり、
aが0より小さくなると今度はz軸上にその2点が現れる。
元のグラフと3次元的にみると、面白いかもね。

stomachmanさん、意図していることと全然違ったらごめんなさい。

そして、他人のふんどしで相撲を取ってしまった私をお許しください・・・
    • good
    • 0

式の上だけでは納得せず、幾何学的意味をビジュアル化したい、と仰るわけですね。

大変立派な態度だと思います。

●f(x)=0の解xが純虚数の場合の話なら、話は簡単。解は
x=iv (vは実数)
と書ける訳です。そこで
g(v) = f(iv)
と定義して、
<v,g(v)>のグラフを描いてみる。
具体的には
f(x) = Ax^2 +C (A,Cは実数で、A≠0)
である場合に
g(v) = f(iv) = -Av^2 + C
ですから、
v = ±√(C/A)
これは、v,g(v)のグラフにおいて、v軸と曲線g(v)の交点ですよね。vというのは虚数軸に他なりません。

●もっと一般にf(x)=0が複素解xを持つ場合どうなるか。こっちの方が面白いので、是非頑張って読んでくださいな。
まず、u,vをいずれも実数として、複素数xを
x=u+iv
と分解して考える。そして、2変数の実数値関数F(u,v), G(u,v)を考えて、
f(x) = F(u,v)+iG(u,v)
とおく。FもGも実数です。すると、
「xが方程式f(x)=0の解であるとは、x=u+ivと分解したとき、F(u,v) = 0 かつ G(u,v)=0 が満たされることに他ならない。」
これはどういうことか。
<u,v,F(u,v)>の三次元のグラフを描いてみると、F(u,v)が0になっている<u,v>が沢山あります。すなわちu軸v軸の張る平面にグラフ(曲面)が交差している点が沢山あり、そのような<u,v>はこの平面上で曲線をなしている。さらに<u,v,G(u,v)>の三次元のグラフを描いてみると、解xに対応するx=u+ivのところでG(u,v)は0になっている。すなわちu軸v軸の張る平面にグラフが交差している。そのような<u,v>は平面上で曲線をなしている。
Fについても、Gについても0になるような平面上の点<u,v>が、解x=u+ivを表す訳です。

具体的に実係数2次方程式の場合を考えてみます。
f(x) = Ax^2+Bx+C(A,B,Cは実数でA≠0。xは複素数)
としましょう。これに、xを実数u,vを使って表したもの
x=u+iv
を代入して、実部と虚部に分けてみると
f(x) =F(u,v)+iG(u,v)
F(u,v)= A(u^2-v^2)+Bu+C
G(u,v)= 2A(uv)+Bv
である。もしMathematicaなどの三次元グラフが描けるソフトをお持ちなら、是非実際に描いてみることをお勧めします。(勿論、電卓と手書き、というのでも可能ですよ。)

●そこで今度はF(u,v)=0の曲線とG(u,v)=0の曲線の関係を見やすくしてみましょう。
u,v平面上にF(u,v)=0を満たす点<u,v>の集合を「青」でプロットします。曲線が現れる筈です。同じ平面上にG(u,v)=0を満たす点の集合を「赤」でプロットします。これも曲線になる。青と赤の曲線が交差したところ<u,v>、それが解x=u+ivですね。(これならExcelでも簡単にグラフ化できるでしょう。)

 さて、F(u,v)=0となる<u,v>をu,v平面上に「青」でプロットすると言うのは、
v^2=(u^2+(B/A)u+C/A) ... (1)
という曲線を描くということです。vは実数なので、あるuを与えたとき右辺が負になってしまう場合には、そのuに対応するvは無い、という事に注意してください。
 同様に、G(u,v)=0となる<u,v>をu,v平面上に「赤」でプロットすると言うのは、
(2Au+B)v=0 ...(2)
を満たす<u,v>の集合を描く訳です。この場合はつまり、v=0という直線(これはu軸そのものですね)と、u=-B/(2A)という直線(これはv軸と平行です)を描くということを意味しています。

●さて、「青」の曲線と、「赤」の曲線(実は2本の直線)ができた。これらの交点はどこにあるか。
○まず、「赤」の2本の直線のうちの一方、v=0だけを考えてみましょう。「青」がこれと交差するような点<u,v>においては、v=0ですから (1)式に代入すると
v^2=0=(u^2+(B/A)u+C/A)
である。言い換えれば
Au^2+Bu+C=0
を満たすようなuがあれば、<u,v>が交点であることになる。
なんだ元のf(x)と同じじゃないか、と思ったら大間違いで、f(x)のxは複素数ですが、この式ではuは実数です。だから
(1) 判別式D=B^2-4ACが負の場合には解はない。つまり「青」の曲線のうち、「赤」の線v=0と交差するような箇所は存在しない。
(2) 判別式Dが0の場合には、u=-B/(2A)が解です。だから<u,v>=<-B/(2A),0>に於いて「青」の曲線と「赤」の線v=0が交差しています。だからx=-B/(2A)が解ですね。実数値の重解です。さらに、この点では二つの「赤」の直線もまた交わっている。
(3) 判別式Dが正の場合には、<(-B+√D)/(2A),0> と <(-B-√D)/(2A),0>の2点に於いて「青」の曲線と「赤」の線v=0が交差していて、これらが解です。実数値の解ですね。

○今度は、「赤」の2本の直線のうちのもう一方、u=-B/(2A)だけを考えてみましょう。これを(1)式に代入すると、
v^2=([-B/(2A)]^2+(B/A)[-B/(2A)]+C/A)
右辺を整理しますと、
v^2=(-B^2+4AC)/((2A)^2)
となります。これは判別式D=B^2-4ACを用いて
v^2=-D/((2A)^2)
と書けますね。
(1) 判別式Dが正の場合。右辺は負になります。そして、右辺が負のときにはvは存在しないんでした。だからこの場合には、「赤」の直線u=-B/(2A)と「青」の曲線(1)は交わっていません。
(2) 判別式Dが0の場合、右辺は0であり、v=0が解です。従って、<u,v>=<-B/(2A),0>に於いて「青」の曲線と「赤」の線u=-B/(2A)が交差しています。だからx=-B/(2A)が解ですね。実数値の重解です。前に述べたように、この点では二つの「赤」の直線もまた交わっている。
(3) 判別式Dが負の場合、右辺は正であり、v=±√(-D)/(2A)が解です。すなわち、<-B/(2A),√(-D)/(2A)>と、<-B/(2A),-√(-D)/(2A)>の2点に於いて「青」の曲線と「赤」の線u=-B/(2A)が交差していて、これらが解です。x=[-B±i√(-D)]/(2A)という二つの複素数解を表している。

●分かり切ったようなことでも、可視化してみるとなかなか楽しいものです。さらに、この「青」「赤」方式が使えるのは、何も2次式に限る訳じゃありません。例えば3次式では一般に解が3個出てきます。それが何処に来るのかも、同じようにして検討することが出来ます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

こんなに丁寧にお答えくださってありがとうございます。プリントアウトして、ゆっくゆっくりていねいに読解してみたいと思います。

お礼日時:2001/06/06 00:00

えぇっと、高校レベルと言う事で・・・


虚数の解が出ると言う事は、実数空間であるこの世では交点を持たない、
と言う事です。
っと、こんな回答をしていると、数学者にツッコミをいれられてしまいますね (^-^;
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q虚数から見ると実数は虚になるのでしょうか

虚数と実数では虚数のほうが初めにあったのではないかと根拠もなく、想像(空想)しています。生物学ではRNAとDNAのような感じです。それとも虚数と実数は同時に存在を始めたのでしょうか。歴史からは実数のほうが先に認知されたとのことですが、虚数の世界から見れば実数の世界は虚の世界というようなことはないのでしょうか。実数がなくても虚数だけでi^2で負数、i^4で正数を表せるのに反し、少なくとも正数では虚数を表現できないとすればやはり虚数のほうが先かとも思うのですが・・・

Aベストアンサー

話を純虚数に絞ります。

私も似たような空想をしたことがあります。
純虚数と実数とは、まったく対称なのではないかと。

しかし、ちょっと考えたら、そうでないことに気づきました。

実数同士の掛け算、割り算は、やはり実数になるのに対して、
純虚数同士の掛け算、割り算は、純虚数ではなく実数になります。
純虚数の世界だけで、加減乗除の体系を作ることができないわけです。

ですから、
両者は対称ではない、つまりは、
「純虚数から見て実数は純虚数に見える」わけではない、
と考えました。


ついでに一言。
1つの実数ないしは複素数x+iyをX-Y座標系の1点としてプロットしたとしましょう。
この実数ないしは複素数に虚数単位iを掛け算すると、さっきの1点は原点に近づくことも遠ざかることもなく、原点の周りにちょうど90度くるりと回ったところの点になります。
iを掛けるということは、大きさを変えるということではなく、回すということ、なんですね。

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Q虚数の意味と意義

おそらく、高校の時の数学で、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。
最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。

一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。
二、虚数の出現の背景。
三、虚数の意味するところ。
四、虚数はなぜ必要か。
五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

 位相空間上の方向・・・というか・・

この話、図を描かないと丁寧な説明ができない
のですが・・・

 オイラーの式というのをどこかで、探して
みて下さい。虚数が三角関数を通じて
回転と結びついていることが分かると
思います。

 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは
メビウスの輪というのを探して下さい。

 メビウスの帯びの上に1本の針を置くこと
を想像してみてください。帯びの方向に
ころころ転がしていくのです。
メビウスの帯は途中でねじれているので、
帯を1周すると、針の方向が上向きから
下向きになっていることが分かると
思います。

 これが回転すると1からー1に符号が
変わるオイラーの式の意味するところで、
オイラーの式で、角度を90°とし
2回かけるとー1になることと
関連しています。

 すいません、言葉でうまく説明できません。

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか...続きを読む

Q3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にも

3次方程式X^3+3X^2-8X+k=0 (kは実数)がX=2を解にもつとき、この方程式の残りの解の和を教えてください。解き方もお願いします。

Aベストアンサー

まず、kの値を出します。
Xに2を代入して整理すると、K=-4となります。

X=2を解にもつということは、(X-2)でくくれるということですので、割り算をすると、
(X-2)(X^2+5X+2)=0となるはずです。

そして、割り算をして出てきた(X^2+5X+2)の解が残りの解となるわけです。
2次方程式の解と係数の関係から、残りの解の和は「-5」
となります。

Q虚数は存在するか?

虚数は存在するのでしょうか?しないのでしょうか?

私の個人的なイメージでは
「2乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか?

虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか?

Aベストアンサー

かなり昔に得た知識なので詳細は定かではありませんが、
虚数は「存在する」ようです。
もっとも、「極小の世界で考えると」と言う注釈がつきます。

専攻が数学ではないので、「虚数 波動関数」などで調べてみてください。

Qy=f(x)とy=f^-1(x)との交点 y=x

y=f(x)とy=f^-1(x)との交点が2つ存在し、その交点のx座標の差が10であるとき、y=f(x)やf-1(x)とy=xとの交点のx座標の差も10でしょうか?

Aベストアンサー

y=f(x)とy=f^-1(x)の2つの交点がy=xになっているとは限らない。

例えば、y=x-50/xの場合、逆関数はx=y-50/y
交点は、(5,-5)、(-5,5)の2つ。

しかし、y=x-1/xとy=xとの交点は存在しない。

Q虚数単位について

虚数単位について

なんで虚数単位の絶対値は1と言えるんでしょうか?
√(-1)の絶対値はどういうふうに計算したら1なんでしょうか?

Aベストアンサー

複素数 z の「絶対値」の定義は、
z と (z の共役複素数) の積の √ です。

虚数単位 i の共役複素数は -i ですから、
i の絶対値は、√1 になります。

Qf(x)=sin x と f(x)=3^x の交点

この問題がわかりません。

次の連立方程式を解け。解をひとつあげよ。
{f(x)=sin x
{f(x)=3^x
グラフにすると交点は無数にあります。
これらの交点のxの値は
sin x=3^x
を解けばよいのですが、
sin x=3^x
log 3 sin x = x
(log 10 sin x)/(log 10 3) = x
log 10 sin x = x(log 10 3)
でxが両辺にあり、詰まってしまいました。
グラフに書けば絶対に1つの交点の座標くらいは求められるので、
計算で求める方法はないのでしょうか?

Aベストアンサー

厳密解を「x=」の形で解析的に、つまり初等関数を使って、解くことは出来ません。
y=3^xとy=sin(x)の交点のx座標は
x≒-nπ(nは正整数)となりますが、Newton法などの数値計算で近似解を求めることが出来ます。Newton法を使う場合はxの初期値x0を与える必要がありますが、
x0=-nπ(n=1,2,3,…)またはその近似値を使えばいいですね。

参考URLの計算サイトWolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/
で「solve(sin(x)=3^x,x)」と入力して実行すれば
y=3^xとy=sin(x)のグラフを描き、数値計算による近似値を求めてくれます。
x1=-3.172249
x2=-6.282179

と求めてくれます。
「More digite」を繰り返しクリックすれば、より有効桁数の多い近似解を求めてくれます。たとえばx1なら
x1= -3.172249014340688071243066800907784712892542957295380113121577871192284724148...
などと求めてくれます。

厳密解を「x=」の形で解析的に、つまり初等関数を使って、解くことは出来ません。
y=3^xとy=sin(x)の交点のx座標は
x≒-nπ(nは正整数)となりますが、Newton法などの数値計算で近似解を求めることが出来ます。Newton法を使う場合はxの初期値x0を与える必要がありますが、
x0=-nπ(n=1,2,3,…)またはその近似値を使えばいいですね。

参考URLの計算サイトWolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/
で「solve(sin(x)=3^x,x)」と入力して実行すれば
y=3^xとy=sin(x)のグラフを描き、数値計算による近似値を求めてくれ...続きを読む

Q二乗して虚数になる数

虚数の計算をしていて疑問に思ったのですが、二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか?

存在しないのだとしたら、何故存在しないのですか?

Aベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
 たぶん、X^2=ー1 から i
が出てくるのに
x^2=i から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか?  と言う質問でしょう。
答えは、 複素数が代数閉体だから です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。 ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

Q平均変化率がわかりません。 関数f(x)=-3x+1のx=0からx=3までの平均変化率 関数f(x)

平均変化率がわかりません。
関数f(x)=-3x+1のx=0からx=3までの平均変化率

関数f(x)=x^3+xのx=1からx=2までの平均変化率
です。

Aベストアンサー

1) f(x)=-3x+1
f(0)=1, f(3)=-9+1=-8
平均変化率=(f(3)-f(0))/(3-0)=(-8-1)/3=-9

2)f(x)=x^3+x
f(1)=1+1=2
f(2)=2^3+2=8+2=10
平均変化率=(f(2)-f(1))/(2-1)=10-2=8


人気Q&Aランキング

おすすめ情報