「これはヤバかったな」という遅刻エピソード

定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
この計算の仕方が分かりません。
x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?
次に半角の公式を使って(この半角の公式とやらがよく分からないのですが)1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり
=π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。
また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう?

A 回答 (3件)

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π](cosθ)^2dθ



http://ja.ftext.org/2%E5%80%8D%E8%A7%92%E3%83%BB …

リンクの中の(2)の式のうち、(cosθ)^2 = (cos2θ + 1)/2を使えば、あとは簡単なコサインの積分です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2014/03/14 16:27

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ


ここまでは合ってますか?

正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)

さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}

cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2

で2乗を外せて、積分しやすい形になります

(1/2)∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ

=(1/2) [ θ + (1/2) sin 2θ] (0→π/2)

= (1/2){(π/2 + sin π)ー(0 + sin 0)}
= (1/2)(π/2 )
=π/4

> また、π/4 は 45°で、
> cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、
> それとの関係はどうなるのでしょう?

上記の積分の π/4  は面積
π/4 は 45°という時の π/4  は角度
ですので、関係は深く考えても仕方ありません
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2014/03/14 16:29

| 上記の積分の π/4  は面積


| π/4 は 45°という時の π/4  は角度
| ですので、関係は深く考えても仕方ありません

など言ってしまいましたが、

今回の積分は半径1の円の 1/4 の面積を求めています

半径 1 の円の円周の長さは 2π・1 = 2π

半径1 の円の面積は π・1^2 = π

です

3日前の既出 Q&A
円の面積 小学校で、どう教わりましたか?
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8510063.html

に面積を求める図がありましたが、

半径1の円の面積は 縦の長さ1、横の長さπの
長方形の面積です

今回は、その 1/4 と考えると、角度の π/4 と
円周の長さ、面積について、思いをめぐらせるのも
数学の理解が深まり良いかもしれません
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この回答へのお礼

そうですね、基本的な数学にその歴史から興味がわいてきました。ありがとうございます。

お礼日時:2014/03/14 16:34

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