定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
この計算の仕方が分かりません。
x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?
次に半角の公式を使って(この半角の公式とやらがよく分からないのですが)1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり
=π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。
また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう?
No.1
- 回答日時:
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π](cosθ)^2dθ
http://ja.ftext.org/2%E5%80%8D%E8%A7%92%E3%83%BB …
リンクの中の(2)の式のうち、(cosθ)^2 = (cos2θ + 1)/2を使えば、あとは簡単なコサインの積分です。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?
正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)
さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています
以上を訂正すると
∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ
となります
cos^2 θ を積分するの面倒です
しかし、半角の公式
cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}
を用いると、、、、
同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが
cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}
cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2
で2乗を外せて、積分しやすい形になります
(1/2)∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ
=(1/2) [ θ + (1/2) sin 2θ] (0→π/2)
= (1/2){(π/2 + sin π)ー(0 + sin 0)}
= (1/2)(π/2 )
=π/4
> また、π/4 は 45°で、
> cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、
> それとの関係はどうなるのでしょう?
上記の積分の π/4 は面積
π/4 は 45°という時の π/4 は角度
ですので、関係は深く考えても仕方ありません
No.3
- 回答日時:
| 上記の積分の π/4 は面積
| π/4 は 45°という時の π/4 は角度
| ですので、関係は深く考えても仕方ありません
など言ってしまいましたが、
今回の積分は半径1の円の 1/4 の面積を求めています
半径 1 の円の円周の長さは 2π・1 = 2π
半径1 の円の面積は π・1^2 = π
です
3日前の既出 Q&A
円の面積 小学校で、どう教わりましたか?
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8510063.html
に面積を求める図がありましたが、
半径1の円の面積は 縦の長さ1、横の長さπの
長方形の面積です
今回は、その 1/4 と考えると、角度の π/4 と
円周の長さ、面積について、思いをめぐらせるのも
数学の理解が深まり良いかもしれません
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