さらに修正しました。
以下において、数はすべて自然数(0を含む)とします。
自然数とその加法を
0 = {}
a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
という集合と写像だと考えます。
等号は、同じ集合(要素がすべて同じこと)を表します。
1 以外の加法は、結合法則が成立するように
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
によって定義します。
自然数を具体的に示せば
0 = {}
1 = {{}} = {0}
2 = {{},{{}}} = {0,1}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}} = {0,1,2}
などになります。
等号には、次の性質が存在します。
0 = 0
a = b ならば a + 1 = b + 1
これと結合法則から
2 + 3 = 5
なども導けると思います。
加法を無限回行うことは
a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
などと表し、特に a = 1 を
1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
と表します。
これを無限公理(を若干修正した)
∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
を満足する最小の集合と定義します。
∞ を具体的に示せば
∞ = {0,1,2,...}
になります。
a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり
∞ + ∞ = ∞
となります。
乗法は
a × b = Σ[k=1,b]a
で定義します。ただし、b = 0 ならば
a × 0 = 0
とします。
以上の定義に従って計算する時、
質問1:この式は正しいですか?
1 + Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1
Σ[k=1,∞]1 + 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = Σ[k=1,∞]1
あるいは ∞ を使って
1 + ∞ = ∞ + 1 = ∞
質問2:この式は正しいですか?
0 × Σ[k=1,∞]1 = 0
あるいは ∞ を使って
0 × ∞ = 0
なお、∞ という記号に、ある集合を表す以上の意味はありません。
「加法を無限回行う」ことも、定義した演算のことです。
ただし、a ∈ b という関係を a < b で表すと
0 < 1 < 2 < ... < ∞
なので、自然数よりも大きな数と考えることができます。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
なんか不自然な書き方になってしまったので訂正。
つまり、
a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
と定義し、かつ、∞と∞∪{∞}は異なることから、∞≠∞+1です。
a = ∞ の場合に x = ∞ となるのであれば、
∞ = {0,1,2,...,∞}
としなければなりません。それは違うんじゃないかな?
一般的な後者の定義は
a + 1 = a∪{a}
だから a = ∞ なら a + 1 = ∞∪{∞} だろうけど。
> a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
において、x = ∞ という値を取ることを証明してください。
回答ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
色々書こうかと思ったんですが、とりあえずこれだけ。
>その不等式を証明してみてください。
>ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。
>よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。
それは「+1の演算」の定義からほとんど自明ですよ。
つまり、
a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
より、∞と∞∪{∞}は異なります。
No.2
- 回答日時:
> a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
>のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。
つまり、a=N∪{∞}ですね。
すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか?
A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・}
「・・・」がやや曖昧ですが、当面無視します。
>∞ + ∞ + ... = ∞
この式はどこから出てきました?
>> したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。
>「したがって」って、どこから繋がるのですか?
直前からです。
>質問1の1つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、
いや変わります。
加法を
a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
と定義した以上、
1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1
です。(普通の順序数と同じ)
> つまり、a=N∪{∞}ですね。
少なくとも、私が言ったのは a ∈ N∪{∞} です。
それが上のように書けるというのなら、過程も記述してみてください。
> すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか?
> A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・}
なりません。
a = ∞ だったとしても、その要素は 0,1,2,... なので
> ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
における x は ∞ を含んでいません。
よって、Aの要素にも ∞ は含まれません。
>>∞ + ∞ + ... = ∞
>
>この式はどこから出てきました?
> a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
から
∞ + ∞ + ... = Σ[k=1,∞]∞
であり、これが a = ∞ とした場合の
> ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
を満足する最小の集合と定義しています。
Aには∞の要素はすべて含まれ、∞の要素は後半の条件をすでに満たしています。
>>「したがって」って、どこから繋がるのですか?
> 直前からです。
意味が通らないので、説明をお願いしてみたんですが、無視されるなら仕方ありません。
> 加法を
> a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
> と定義した以上、
>
> 1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1
>
> です。(普通の順序数と同じ)
その不等式を証明してみてください。
ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。
よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。
回答ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
いろいろつっこめそうなところがあると思いますが、
自分に気づいたのは以下の通り。
>これを無限公理(を若干修正した)
> ∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
>を満足する最小の集合と定義します。
aとはなんですか?
>a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり
> ∞ + ∞ = ∞
>となります。
それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。
したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。
> aとはなんですか?
> a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。
> それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。
∞ + ∞ + ... = ∞
であるから
∞ + ∞ = ∞
となります。
∞ + ∞ ≠ ∞
であったら、前の式も成立しませんからね。
> したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。
「したがって」って、どこから繋がるのですか?
質問1の1つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、
質問1の2つ目は、∞に対する単なる「+1」という演算であり、それは最初に定義されています。
質問2も、乗法の定義から求められると考えています。
いずれも ∞ + ∞ とは何の関係もないと思いますよ。
回答ありがとうございました。
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