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円に内接する四角形ABCDがある。AB=4、BC=5、CD=3、DA=3のときsin∠BADと四角形ABCDの面積を求めよ。

sin∠BADの方は自力で√35/6とわかったのですが、四角形の面積の方がわかりません。
解説をお願いします。

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A 回答 (2件)

【1】 sin ∠A



B と D を結び、△ABD に余弦定理を当てはめると

BD^2 = AB^2+AD^2 -2・AB・AD cos ∠A

BD^2 = 4^2+3^2-2・4・3 cos ∠A (1)

△BCD に余弦定理を当てはめると

BD^2 = 5^2+3^2-2・5・3 cos ∠C

円に内接する四角形の対角の和は π ですので

∠A+∠C = π

cos ∠C = cos(π-∠A) = -cos ∠A となり

BD^2 = 5^2+3^2+2・5・3 cos ∠A  (2)

(1)、(2) より

4^2+3^2-2・4・3 cos ∠A = 5^2+3^2+2・5・3 cos ∠A

cos ∠A = -1/6

sin^2 ∠A + cos^2∠A = 1 より

sin ∠A = (√35)/6 ← 答え

【2】 四角形 ABCD の面積

三角形の面積の公式
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/her …

より、△ABD の面積 = (1/2) AB・AD・sin ∠A

= (1/2)・4・3・(√35)/6 = √35

sin ∠C = sin(π-A) = sin A = (√35)/6

ですので、△BCD の面積 = (1/2)BC・CD・sin ∠C

= (1/2)・5・3・(√35)/6 = (5/4)√35

四角形 ABCD の面積 = △ABD の面積+△BCD の面積

= √35 + (5/4)√35 = (9/4)√35 ← 答え
「三角比、平面図形の問題の解説をお願いしま」の回答画像2
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ABとAD、sin∠BADが判っているので△BADの面積が計算できます。


二辺の長さとその二辺がなす角の正弦で三角形の面積が判る公式が
あるでしょ。

一方、四角形ABCDは円に内接しているので、∠BADと∠BCDの和は
180°であり、よってsin∠BCD=sin∠BADのはず。
BCとCD、sin∠BCDが判っているので上記と同じ公式で△BCDの面積が
判るはず。

あとは△BADと△BCDの面積を足すだけ。
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