分散分析の交互作用グラフの解説

Question

以下のリンク先の分散分析の交互作用グラフの解説をお願いします。
http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html

主効果がある、ないの見方が理解できません。
→以降に、自分の見方を書きました。見方は適切でしょうか。
（１）～（５）は理解できましたが（６）が理解できません。
わかりやすく解説して頂けると幸いです。

■交互作用のない場合
（１）Aの主効果もBの主効果もない。
→B水準のB1とB2を比較し、差がない。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、A、Bともに主効果がない。グラフは平行なため交互作用なし。

（２）Bの主効果のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、B水準の主効果はある。A水準の主効果はなし。グラフは平行なため交互作用なし。

（３）A、Bともに主効果あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行であるため、交互作用なし。

■交互作用のある場合
（４）A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行ではないため、交互作用あり。

（５）A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果があるが、B1ではA水準の効果はなく、B２でのみA水準の効果がある。グラフは平行でないため、交互作用あり。

（６）交互作用のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある？とおもいます。グラフも平行でないため交互作用もある。
（６）が理解できません・・・

よろしくお願いします。

stomachman · Accepted Answer

ANo.1へのコメントについてです。

実際に手を動かしてみれば分かることだと思います。何はさておき、V(a,b)の式において、(a,b)に(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)をそれぞれ代入してみて下さい。すると、4本の式
　　V(-1,-1) = -C1-C2+D+E
　　V(-1,1) =  -C1+C2-D+E
　　V(1,-1) =  C1-C2-D+E
　　V(1,1) =  C1+C2+D+E
が得られるでしょう。これをご自分でも計算して、確認してください。

> 2×C1 2×C2の所は、なぜ2をかけることになるのでしょうか。

要因Aの主効果ってのは、「要因Bがどうであれ、Aがあるかないかで結果にどれだけ差が出るか」ということです。なので、上記の4本の式を利用して、C1については「Aがあるかないかの差」すなわち V(1,-1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(-1,1) を計算してみて下さい。もちろん、C2については「Bがあるかないかの差」すなわち V(-1,1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(1,-1) を計算します。
　さらに、交互作用がない場合について検討するために、この計算で得られた式にD=0を代入してみて下さい。

> この符合が場所により、変化することはいかように解釈すれば良いでしょうか？

符号が変化するのが不思議だな、と思われたんでしょうね。けれど、それは、ま、どうでも良いことです。
　この回答の冒頭に書いた4本の式の左辺は（測定した値なんですから）値が分かっている定数である。そこで、これら4本の式を「C1, C2, D, Eを未知数とする4元連立方程式」だと思って解くと、C1, C2, DがANo.1の式の通りに得られる、というだけの話です。
　ご自分で検算なさって下さい。たとえば
　　D = (V(1,1) - V(1,-1) - V(-1,1) + V(-1,-1))/4
を検算するには、この式の右辺に上記の4本の式を代入して整理するんです。そうすれば、（stomachmanが計算間違いしていなければ、）
　　0 = 0
という式が得られる筈です。これは正しい式ですから、この検算によって、 D = … の式が正しいと確かめられたことになります。

stomachman · Answer

「一方の要因はに何の効果もない」ということを判別するには「差があるかないか」だけで考えるのが便利です。けれども、この考え方だけで全部の場合を押し通すのは無理でしょう。なので、ご紹介のリンク先のページの説明はいささか不十分だと思います。

「クリスピー」を要因A「辛口」を、要因Bと考えます。要因Aがある（クリスピー）かない（普通の衣）かの2通り、要因Bがある（辛口）かない（普通味）かの2通り、両者の組み合わせで都合4通りの場合について、何かの結果を測定したデータを眺める話ですね。（要因A, B以外には、結果に影響を与える要因はないものと仮定します。）
　すると、要因A, Bの組み合わせと、その結果をひとつの式で表すことができます。

まず、Aがある場合をa=1, ない場合をa=-1で表し、Bがある場合をb=1, ない場合をb=-1で表します。で、条件の組み合わせa, bにおける結果をV(a,b)と書く事にします。（たとえばV(1,-1)は、要因Aがあって要因Bがない場合（クリスピーで普通味）の結果の値（71.00）のことです。）すると、4つの定数C1, C2, D, Eを使って
　　V(a,b) = C1×a + C2×b +  D×a×b + E
と書けます。Dが交互作用、C1がAの主効果、C2がBの主効果を表しています。

この式に沿って説明すると、
　要因Aの主効果ってのは、「要因Bがどうであれ、Aがない場合に比べてAがある場合に、2×C1だけ結果が大きくなる(C1は負の値でも良いけれど、明らかに0ではない定数)」ということ。
　要因Bの主効果ってのは、「要因Aがどうであれ、Bがない場合に比べてBがある場合に、2×C2だけ結果が大きくなる(C2は負の値でも良いけれど、明らかに0ではない定数)」ということ。
　一方、交互作用というのは、要因A, Bの主効果だけじゃ説明できないような結果の違いをひっくるめたものです。

さて、V(1,1), V(1,-1), V(-1,1), V(-1,-1)の値を使うと
　　D =  (V(1,1) - V(1,-1) - V(-1,1) + V(-1,-1))/4
　　C1 = (V(1,1) + V(1,-1) -  V(-1,1) - V(-1,-1))/4
　　C2 = (V(1,1) - V(1,-1)  + V(-1,1) - V(-1,-1) )/4
によって D, C1, C2を計算できます。(Eも計算できますけれども、これはどうでも良い。）

ご質問の図(6)の場合には
　　V(1,-1)=V(-1,1)
　　V(1,1)=V(-1,-1)
になっている。これを上記の式に代入してみると
　　D ≒  (V(1,1) - V(1,-1))/2 = (V(-1,-1)-V(-1,1))/2
　　C1 = 0
　　C2 = 0
であると分かります。つまり、交互作用Dはあるけれども、A, Bの主効果はない(C1=0, C2=0)。
　チキンの話の場合、表に書いてある数値を使ってD, C1, C2を計算してみれば、交互作用だけでなく、弱いながら主効果もある、ということが分かります。

分散分析の交互作用グラフの解説

ANo.1へのコメントについてです。

「一方の要因はに何の効果もない」ということを判別するには「差があるかないか」だけで考えるのが便利です。

この回答への補足

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