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ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0)が2直線を表すとする。
(1)aの値を求めよ
(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ

この問題がちんぷんかんぷんなので
詳しく教えてください!!!
回答よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

(1)aの値を求めよ


>二直線をy=cx+d、y=ex+fとすると、
y-cx-d=0、y-ex-f=0だから左辺の積
(y-cx-d)(y-ex-f)=cex^2-(c+e)xy+y^2+(cf+de)x-(f+d)y+dfが
与式の左辺と等しくなるようにaを決めればよいので、y^2の
係数が-1になるように二直線の積に-1をかけて
ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=-cex^2+(c+e)xy-y^2-(cf+de)x+(f+d)y-df
係数を比較して
a=-ce、-1=c+e、10=-(cf+de)、2=f+d、8=-df、後の4式を解いて
-8/d=f、d^2-2d-8=(d-4)(d+2)=0、(d,f)=(4,-2)、(d,f)=(-2,4)
e=-1-c、c=(10-d)/(d-f)、(c,e)=(1,-2)、(c,e)=(-2,1)
よって、a=-ce=2・・・答
(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ
2直線はy=x+4、y=-2x-2、この2直線の交点はx+4=-2x-2からx=-2、y=x+4=2
すなわちこれらの2直線は点(-2,2)で交差するので、3直線で出来る
三角形の面積は、底辺の長さが2の二つの三角形の面積の和で計算
出来る。
直線lをy=sx+2としてy=x+4との交点を求めると
x+4=sx+2からx=2/(s-1)、x=2/(s-1)、y=x+4=(4s-2)/(s-1)
直線lが2直線と交わるためにはs<-2又は1<sだから(4s-2)/(s-1)>2、
従って一つの三角形の面積は(1/2)*2*{(4s-2)/(s-1)-2}=2s/(s-1)
直線lとy=-2x-2との交点はsx+2=-2x-2からx=-4/(s+2)、y=(4-2s)/(s+2)
上記のsの条件からy=(4-2s)/(s+2)<2。よってもう一つの三角形の
面積は(1/2)*2*{2-(4-2s)/(s+2)}=4s/(s+2)
以上から2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積は
2s/(s-1)+4s/(s+2)。これが=18だから2s/(s-1)+4s/(s+2)=18、整理して
2s^2+3s-6=0、これを解いてs=(-3±√57)/4となり、これらのsの値は
両方ともs<-2又は1<sを満たすので、直線lの方程式は
y=(-3+√57)x/4+2又はy=(-3-√57)x/4+2・・・答
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No.2、No.3 さんと(1)の答えは 2 で同じです


No.2 さんの (2)の答えは1つ、No.3 さんの答えは2つと違い、
僕はなんと4つになってしまいましたwww

(1)
ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0) を y について整理し、

y^2+(xー2)y ーax^2ー10xー8 = 0

{y +(xー2)/2}^2=(a+1/4)x^2+9x+9

y = ー(xー2)/2 ±√{(a+1/4)x^2+9x+9}

これが直線となるのは、√{(a+1/4)x^2+9x+9}が
x の一次式になることですので、(a+1/4)x^2+9x+9
(3/2)x+3}^2 の時で、係数を比較し、
9/4 = a + 1/4
【答え】 a = 2

(2)
a = 2 を代入し、
y = ー(xー2)/2 ±(3/2)x+3}
±がプラスの時 y = x+4   (1)
±がマイナスの時 y = ー2xー2   (2)

点 A(0, 2) を通る直線は y軸に平行とすると
三角形の面積 (1/2)2・(4 +2)= 6 ですので、
面積 18 にならず、求める直線は
y = kx+2 とおきます   (3)

(1) と (2) の交点を計算すると (ー2, 2)です
(1) と (3) の交点を計算すると (2/(kー1), 2/(kー1)+4)
(2) と (3) の交点を計算すると (ー4/(k+2),  8/(k+2)ー2)

上記の3点を x軸方向に 2、y軸方向に ー2 平行移動すると、各々

(0, 0)
(2/(kー1)+2, 2/(kー1)+2)
(ー4/(k+2)+2, 8/(k+2)ー4)

整理すると

(0, 0)
(2k/(kー1), 2k/(kー1))
(2k/(k+2), ー4/(k+2) )

原点を通る3角形の面積 S は

S = (1/2)|2k/(kー1)・(ー4/(k+2))ー2k/(kー1)・(2k/(k+2)|
 = |ー6k^2/(k-1)(k+2)|

この面積が 18 ですので

|ー6k^2/(k-1)(k+2)|= 18
|k^2/(k-1)(k+2)|= 3

k^2/(k-1)(k+2)= 3 を解いて、k = (ー3±√57)/4
k^2/(k-1)(k+2)= ー3 を解いて、k = (ー3±√105)/8

【答え】
求める直線の方程式は
y = {(ー3±√57)/4}x + 2
y = {(ー3±√105)/8}x + 2
「数学の質問いいですか?」の回答画像4
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ax^2-xy-y^2+10x+2y+8=0(a≠0) (1)



が2直線を表すとする。

(1)aの値を求めよ

(1)をyに関する2次方程式とみると

y^2+(x-2)y-(ax^2+10x+8)=0

これをyについて解いたとき

2y=-(x-2)±√D    (2)

D=(x-2)^2+4(ax^2+10x+8)    (3)

(2)が2直線になるためには(3)が

D=(px+q)^2=p^2x^2+2pqx+q^2    (4)

(3)は

D=(1+4a)x^2+36x+36

(4)と比較して

1+4a=p^2 (5)

pq=18   (6)

q^2=36   (7)


(7)よりq=±6

(6)よりp=±3

(5)よりa=2

この時(1)は(2)を用いて

2y=-(x-2)±(3x+6)

y=x+4    (6)

または

y=-2x-2   (7)

すなわちy-x-4=0またはy+2x+2=0

これらを掛け合わせた

(y-x-4)(y+2x+2)=0

は(1)にa=2を代入したものに一致する。




(2)この2直線と点A(0,2)を通る直線lとで囲まれた図形の面積が18であるとき、直線lの方程式を求めよ

この2直線とは(6)、(7)である。

直線l:y=cx+2

lと(6)の交点Bは(2/(c-1),2/(c-1)+2)

(6)、(7)の交点Cは(-2,2)

lと(7)の交点Dは(-4/(c+2),-2(c-2)/(c+2))


Cとlの距離hは

h=|2+2c-2|/√(c^2+1)=2|c|/√(c^2+1)

BD^2=[2/(c-1)+4/(c+2)]^2+[(4c-2)/(c-1)+(2c-4)/(c+2)]^2

=36c^2(c^2+1)/[(c-1)^2(c+2)^2]

⊿BCD=h*BD/2=[2|c|/√(c^2+1)][6|c|√(c^2+1)/|(c-1)(c+2)|/2=6c^2/|(c-1)(c+2)|=18

c^2=3|(c-1)(c+2)|

⊿BCDができるためにはc>1 またはc<-2よって

c^2=3(c-1)(c+2)

2c^2+3c-6=0

c=(-3±√57)/4

c>1 またはc<-2となるのは

c=(√57-3)/4
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(rx + sy + t)(ux + vy + w) = 0


を展開して、もとの式と
係数が同じになるよう、
r~w
を計算すればいいような気がします。
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