「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

 誤差の計算で困っています。
A,B,C,Dについて、それぞれ10個の実験データがあります。
 最終的には、C*D/(A-B) といった式の誤差を求めたいと思うのですが、この式の正規方程式を立てることはできるのでしょうか?よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

「正規方程式」というものは勉強したことがないです。


ですけど、C*D/(A-B)の誤差を求める方法はわかります。
A,B,C,Dそれぞれの誤差の求め方はご存知だと思うので、書きません。

さて、一般に、
誤差のあるもの同士の足し算(引き算)をすると、和(差)の誤差は√Σ(各誤差値の2乗)。(ただし誤差は割合表示でなくて値そのもの表示)
例えば、3±1と4±2の和は7±√5

誤差のあるもの同士の掛け算(割り算)をすると、積(商)の誤差は、Σ(各誤差)、すなわち誤差の単純加算です。(ただし誤差は割合表示)
例えば、100±20(=100±20%)を10±3(=10±30%)で割り算した商は、10±50%(=10±5)

ですから、
A→A±a
B→B±b
C→C±c
D→D±d
と置けば、
ご質問のC*D/(A-B)の誤差は、
c/C + d/D + (√(a^2+b^2))/(A-B)
になります。
(これに100を掛ければ%になります。)
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    • 1
この回答へのお礼

返事が遅れて申し訳ございません。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2004/05/19 00:45

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Q誤差を含む数値同士を掛け算した時の誤差

誤差を含む数値を足し算した時の誤差については、ここで「集積誤差」とか「累積誤差」とかをを調べて理解したのですが、掛け算の場合はどう考えたら宜しいのでしょうか?

例えば、ある液体を「a±h 倍」に希釈したサンプルの濃度を測定したら「b±i g/L」であった。原液の全量が「c±j L」あるとき、全体に含まれている物質の量を「d±k g」と表わすと、当然 d=a×b×c ですが、誤差の部分 ±k を計算するには、どうしたら良いでしょうか?

なお、このカテゴリーへは初めての書き込みです。不備がありましたら御指摘下さい。

Aベストアンサー

一般にある量fがx1,x2,x3,・・・という量と

f=f(x1,x2,x3,・・・・)=x1^p1 x2^p2 x3^p3・・・・=Πi xi^pi

の関係にあるとき、xiの誤差をΔi, fの誤差をΔf、平均を<・>で表すとして

Δf/|<f>|=√[ Σi pi^2 (Δi/<xi>)^2]

の関係があります。(誤差の伝搬(伝播)の法則)

したがってこの問題の場合は

k = |d| √[(h/a)^2+(i/b)^2+(j/c)~2]

となります。

Q誤差の割り算?

物理の課題で誤差のある直径と誤差のある高さ、誤差のある重さを使って円柱の密度を求める問題が出されました。
直径、高さは平均値とその確立誤差を求めてそれぞれ5.42±0.01cm、9.76±0.01cmと出ました。
その後体積は225±1立方cmと求めたのですがそれを1784.3±0.1gという重さから割る動作が分かりません。
何か特別な方法でもあるのでしょうか。
やり方だけでもいいのでアドバイスを頂けないでしょうか?
どうか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。大学生レベルとして回答しますね。
密度d,体積v,質量mとすれば,その誤差は,

Δd=∂d/∂v・Δv + ∂d/∂w・Δw

でよいのでは?vはさらに半径rと高さhで書き下す必要がありますが,ご質問から察するにそこはもう終わっている,ということですよね?(私は計算していないので,結果の正誤のほどは分かりませんが)
かなり不親切な回答ですが,これで考えてみてくださいね(^^

*おかしいとお気づきの方がいらっしゃいましたら,ぜひ補足ください。

Q測定したデータの誤差を計算する方法

集めたデータのばらつきを求めるときに使う計算法として、標準偏差がありますが、「誤差=平均値±標準偏差」と考えていいのでしょうか?
ほかに標準誤差というのがあるようなのですが、説明を読んでも何を意味している誤差なのか理解できません。
ちなみに、データは以下の通りです。

データ数:60
最高値:39.00
最低値:11.00
平均値:22.56
標準偏差:5.261
標準誤差:0.679(5.261/√60)
標準偏差を誤差と考えると22.56±5.261で、総データの70.0%が含まれます。
標準誤差を誤差と考えると22.56±0.679で、総データの10.0%が含まれます。

回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ここで言う標準誤差は,平均値の確度を表す指標です.
(私自身は標準誤差という名称は初めてですが...)
なので母集団の平均の推定値は算出した平均値±α*標準誤差
(αは推定値の信頼度によって変化します.詳しくは
統計の教科書のt-分布のあたりをご覧下さい)

あと質問者さんは誤差を求めたいようですが,誤差の定義は
誤差=測定値-真値
であり,一般に真値は分からないので誤差は分からないことになります.
また何の誤差をお知りになりたいのかも不明です.上のデータが何をあらわしてるのかは不明ですが,
同一のものを60回測定した結果であれば,母集団の平均の推定値がほぼ真値を表しますので,誤差は,ほぼ標準偏差と考えることができるように思います.
一方60個の別のものを測定したとすれば,母集団の平均の推定値は母集団の平均値であり,標準偏差は60個のものの分布を表していることとなり,誤差という話はあまり出てきません.(無理に言えば,製造の誤差と言えなくもありませんが)

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
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教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Q標準偏差同士の計算はどうやるのですか?

例えば、
(6±0.2)÷(3±0.1)=
を計算すると、
答えが、5.8/3から16.2/2.9となるとおもうのですが。
もっとふくざつな四則計算になると歯が立ちません。

このような計算を簡潔に解ける方法はあるのでしょうか?

また、Mathematicaで解くことは出来ますか?

Aベストアンサー

±をどういう意味だと思うかによって、話が違います。

[1] ご質問は「標準偏差同士の計算」となっていますから、±の後ろにある数値は標準偏差のお積もりでしょうかね。だとすると、
> (6±0.2)÷(3±0.1)=
> を計算すると、
> 答えが、5.8/3から16.2/2.9となる
 そうとは限らないです。たとえば分子と分母がそれぞれ正規分布に従う場合を考えると、分子も分母も(僅かな確率ですが)平均値からうんとかけ離れた値を取りうる。だから、取りうる値の範囲(最大・最小)は幾らでも大きくなります。じゃあ割り算した結果の(範囲ではなくて)標準偏差は幾らか、ということが気になる訳ですが、それは分子がどんな分布に従っているか、分母がどんな分布に従っているか、分子と分母が相関を持つかどうか、また、分母が0以下になる確率が0かどうかでも話が違ってきます。だから、標準偏差だけでは情報不足で答が出ません。

[2] しかし (ご質問のタイトルとは違って)もし±の後ろにある数値が範囲を表している(つまり、6±0.2なら最大6.2, 最小5.8という意味)ならば、
「6-0.2≦x≦6+0.2, 3-0.1≦y≦3+0.1のとき、x ÷ y の範囲を求める」
という形の問題だと考えれば、答の範囲が決められます。もっと複雑な演算でも同じことですね。

[3] ところで、もし±の後ろにある数値が、有限の桁数で数値計算をする際に生じる誤差の見積もりを表している(つまり、6±0.2なら0.2程度の誤差が含まれているという意味)なら、もうちょっと別のアプローチもあります。
 もちろん、±の後ろに付いているのが範囲を表していると思えば上記[2]の話と同じことですけれども、そのやり方ではあまりに悲観的すぎる。計算を繰り返して行くと、±の後ろの部分がどんどん大きくなってしまう。
 でも実際には、計算のたびに生じる誤差同士が互いに打ち消し合う効果があるために、答の誤差はそんなには大きくならない。この事を考慮した実用的な誤差の見積もり方として、「精度保証付き数値計算」と呼ばれる工学理論があります。

±をどういう意味だと思うかによって、話が違います。

[1] ご質問は「標準偏差同士の計算」となっていますから、±の後ろにある数値は標準偏差のお積もりでしょうかね。だとすると、
> (6±0.2)÷(3±0.1)=
> を計算すると、
> 答えが、5.8/3から16.2/2.9となる
 そうとは限らないです。たとえば分子と分母がそれぞれ正規分布に従う場合を考えると、分子も分母も(僅かな確率ですが)平均値からうんとかけ離れた値を取りうる。だから、取りうる値の範囲(最大・最小)は幾らでも大きくなります。じゃあ割...続きを読む

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
LCRの配分を工夫すると誤差やバラツキを少なく出来ます。
 

Q誤差の計算方法

AとBという結果がでたとしてA=Bになるはずが多少の誤差が生じる。そこで誤差を求める上で100x(A-B)/A
(%)でもとめました。しかし、Aの値があまりにも小さいせいか、180%ととかになってしまうのですが、どうしたらA≒Bを示せるのでしょうか?

Aベストアンサー

まず.言葉の定義から
誤差という値は「測定値-真の値」から求められます。
ということで.
100x(A-B)/A
は.誤差を求めた値ではないのです。

そこで.通常.ある程度の数の測定をして.分布を調べます。
正規分布であるならば.平均値が存在します。
平均値を「真の値」と仮に定め.測定値との差の平均(測定値の標準偏差)を誤差とみなします。
これは.誤差の特性として.
正規分布
平均値がσ
となることから.誤差を推定する方法です。

というわけで.測定精度をお知らせ願えませんか.2つしか値がないのでは.測定精度からにありーイコールを導くしかありませんから。

Q平均誤差について

物理学の講義で判らなかったことですが、内容が数学的だったので、こちらで質問させてください。

平均誤差と確率誤差の違いが判りません。
講義で、平均誤差と確率誤差、最小二乗法、誤差の伝播の法則などを同時に教えられたので混乱しているのだと思います。
その時にとったノートは、とにかく黒板を写しただけになってしまい、何がどのことなのか判らなくなっています。
平均誤差・確率誤差を教えていただければ幸いです。
最小二乗法はなんとなく判ったので、誤差の伝播の法則はもう少し頑張ってみようと思います。

判りにくい質問文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
V=Σ(i=1→n)([各測定値]i-[平均値])^2 /n

標準偏差は非常によく用いられる概念なので、覚えること必須です。
エクセルの基本関数の一つでもあります。
(stdなんちゃら関数です)

学力試験の統計結果で「偏差値」が用いられますが、じつは、それは、平均値を50、標準偏差が10になるように統計処理したものなんです。
ですから、偏差値で言うと、50±6.74の範囲にいる受験者が全体の50%とということになります。
56.74以上の偏差値でしたら、4人に1人の優秀者ということですね。

ちなみに、50±10、すなわち、平均値±標準偏差の範囲には、全体の約68.3%が入ります。
偏差値60以上の人は、全体の15.8%になります。

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


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