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奇数の列を次のように1個、2個、4個、8個、•••と群に分ける。
{1},{3,5},{7,9,11,13},{15,17,19...,29},...

(1)第n群の最初の奇数を求めよ。
(2)第n群の奇数の和を求めよ。
(3)第8群の3番目の数を求めよ。
(4)77は第何群の何番目の数か。

(2)以降が分かりません(求め方)。どなたか助けてください。よろしくお願いします。

「高校数学B(数列~群数列~)」の質問画像

A 回答 (1件)

(1) 第n群には 2^(n-1) 個の数が含まれる。


よって、第n+1群の最初の数は、第n群の最初の数に 2^n を加えたもの。
初項が1、公比が2の数列の和、つまり
Σ[k=1,n]2^(k-1) = 1*(2^n-1)/(2-1) = 2^n-1
が答となる。

(2) 第n群の最後の数は、 第n群の個数から
2^n-1 + (2^(n-1)-1)*2 = 2^(n+1)-3
となり、第n群の平均に個数をかけて
(2^n-1 + 2^(n+1)-3)/2 * 2^(n-1) = 3*2^n*2^n/4 - 2^n = 3*4^(n-1)-2^n
が答となる。

(3) 第8群の最初の数は 2^8-1 だったから、3番目の数は
2^8-1 + (3-1)*2 = 255 + 4 = 259
となる。

(4) 77が第n群に含まれるとすると、
2^n-1 ≦ 77 < 2^(n+1)-1
となる。これより n = 6 と求まる。
第6群の最初の数を引くと
77 - 2^6-1 = 14
であり
14/2+1 = 8
だから、77は第6群の8番目の数となる。
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Q奇数からなる群数列の問題

1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,・・・は、すべて自然数の3乗になっている。この問題を見かけたことがありますか?(なくても、著作権の侵害になりそう、なら削除するべきなのでしょうかね。)
ここで、オリジナルの質問者「若き数学者の卵?」さんに代わって質問します。この問題の分かりやすい「解説」(証明でなくてもいいのです)はありませんか?(私なども、数時間をかけて真夜中までかかって説明したのに、・・・。)
蛇足ながら、(そして、やたらに削除されないように!?)この問題についての私の「解説」を載せますので、ご批評を!  使う定理は、
(1) 1+2+3+・・・+n = n(n+1)/2
(2) 1+3+5+・・・+(2n-1) = n^2   そうすると、
(3) 「オリジナルの質問者」さんが初めに示した奇数の列について、その1番目の(  )の中からn番目の(  )の中までの和については、その和の中に1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2 個(定理(1)より)の奇数が入っていますから、定理(2)よりそれらの奇数の和は{n(n+1)/2}^2
(4) また、n-1番目の(  )の中までの和についても、同様にして{n(n-1)/2}^2
(5) すると、求めるn番目のカッコ(  )の中の和は、(3)-(4) で n^3 となります。
(・・・それにしても、削除される質問が多すぎるような気もしますが、そんなに著作権違反があるのでしょうか? それともマナー違反ということ? 解らないから質問するのだし・・・、回答する方もこの質問が著作権違反かマナー違反かとかは、良く判断できませんし・・・。せっかく苦労して回答したのが、何の説明もなくあっさりと削除されてしまうのは、それこそマナー違反?の気もしますが・・・。済みません、愚痴を。あとは削除されないことを祈るのみです。「監視人」さん、お目こぼしを!?!)

1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,・・・は、すべて自然数の3乗になっている。この問題を見かけたことがありますか?(なくても、著作権の侵害になりそう、なら削除するべきなのでしょうかね。)
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蛇足ながら、(そして、やたらに削除されないように!?)この...続きを読む

Aベストアンサー

(1) 1+2+3+・・・+n = n(n+1)/2
のみ使えば回答できます。
n番目の先頭の数は、n(n-1)+1ですよね。
n番目にはn個の数字がありますので、
n番目の先頭の数をn倍して、差を足せばよいです。
n{n(n-1)+1}+2{0+1+2+…+(n-1)}=n^3

Q群数列教えてください

群数列 |1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|21,・・・ において
(1)第n群の最初の数をnを用いて表せ
(2)第n群に含まれる数の和を求めよ
(3)351は第何群の何番目の数か

群数列 |1|1,2|1,2,3|1,2,3,4|1,・・・ において
(1)この数列の第100項を求めよ
(2)初項から第100項までの和を求めよ

群数列 1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,・・・ において
(1)第15群の4番目の数を求めよ
(2)第n群に入る数の和を求めよ
(3)1000は第何群の何番目の数か
  
どれか1つでもいいので、
できれば細かいところまで詳しく解き方を教えてください。
どうしたらいいのか見当もつきません...

Aベストアンサー

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか?
ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
その分だけ難しく映ってしまうわけです。
ですから、群数列を得意にしてしまう秘訣は、
「『第●群の第▲項』⇔『全体を通して第■項』」
という相互変換に習熟することです。
言わば「ローカル番号」と「通し番号」の言い換えですね。

ここで重要なことは、
「この変換はあくまで『番号』と『番号』の間の言い換えであり、
その項の中身の値は関係ない」
ということです。
まずは項の中身を無視して番号に集中し、中身はその後で考えれば良いのです。
群数列を苦手とする人は、この辺りをごちゃ混ぜにして、
自分でわざわざ問題を難しくしてしまう傾向があります。

さらに具体的なコツを述べるとすれば、
いきなり『第●群の第▲項』を扱おうとすると
●と▲の2つを同時に考えないといけなくなるので、
まずは『第●群の末項』について考えることをお勧めします。
すなわち、
『第●群の末項』⇔『全体を通して第■項』
という変換だけを最初に考えるわけです。

第3問を使って実際にやってみましょう。
「まずは中身を無視する」ということを強調するために、
各項を「・」で表すことにします。
・|・・|・・・・|・・・・・・・・|
例えば第4群の末項の通し番号は、
「第1群から第4群までの項数の和」に等しく、
第(1 + 2 + 4 + 8)項 = 第15項となることが分かります。
一般に、各群の末項は
通し番号が気持ち良く求まることが多いのです。
鍵を握っているのは「各群の項数」であり、これを書き並べると
1個, 2個, 4個, 8個, 16個, ……
となりますが、これ自体が1つの数列をなしています。
そして、もとの数列の第k群の末項の通し番号を知りたければ、
この新しい数列の第k項までの和を取ってやれば良いことが分かります。
この場合、「初項1・公比2の等比数列」であり、
和は (2^k) - 1 となりますから、
『第k群の末項』⇔『全体を通して第 (2^k) - 1 項』……(*)
という変換が達成されました。

さて、ローカル番号と通し番号の変換ができたところで、
ようやく中身の値(一般項)を考慮に入れます。
このとき、第1問と第3問のように、
通し番号のほうが一般項を求めやすい場合もあれば、
第2問のようにローカル番号のほうが役に立つ場合もあります。
この違いはどこから来るのかというと、
第1問や第3問ではいったん仕切り棒を取り去ってしまったら、
どこに仕切り棒があったのか分からなくなってしまいますね。
これに対し第2問は、かりに仕切り棒が問題に書かれていなくても、
自分で仕切り棒を書き加えることができるはずです。
それはともかく、いま取り組んでいる第3問は
通し番号で第p項の値はpそのものですからラクちんです。

準備完了です。

(1)第15群の第4項の値を求めよ。
まずはローカル番号を通し番号に変換します。
「第15群の第4項」を言い換えると、
「第14群の末項のさらに4項あと」となります。
(*)を用いると「第14群の末項」⇔「通し番号で第 (2^14) - 1 項」となりますから、
さらにその4項あとは [(2^14) - 1] + 4 より、第16387項です。
したがってその値は16387です。

(2)第n群に入る数の和を求めよ。
第n群は項数2^(n - 1)、公差1の等差数列ですから、
あとは初項と末項を求めれば計算できます。
第n群の初項は「第(n - 1)群の末項の次」であり、通し番号では
[2^(n - 1) - 1] + 1より第2^(n - 1)項です。したがってその値も2^(n - 1)です。
同様にして、第n群の末項は(2^n) - 1となります。
以上より、第n群に入る数の和は「(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2」により
[2^(n - 1) + (2^n) - 1][2^(n - 1)]/2 となります。
n = 3, 4あたりで検算してみてください。

(3)1000は第何群の何番目の数か。
これが「1000は通し番号で第何項か」なら易しく、第1000項です。
あとはこれをローカル番号に変換するだけです。
ある群の末項にぴったり一致するとは限りませんから、
まずは適当に試してみましょう。
(*)より、第10群の末項なら (2^10) - 1 で第1023項、ありゃ、行き過ぎた。
その前の第9群の末項なら第511項。
というわけで
「第1000項」
⇔「第511項のさらに489項あと」
⇔「第9群の末項のさらに489項あと」
⇔「第10群の第489項」
となります。

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか?
ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
そ...続きを読む


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