判断推理の問題がわからない

判断推理の問題なのですが、解き方というか、考え方が分かりません。
どうぞご教授お願いいたします。

【問題】
ある県民講座で講座Ａ、Ｂ、Ｃの申込み状況は以下のようであった。

Ａ、Ｂ両講座を申し込んだ人がいた。
Ｃ講座を申し込まなかった人は、Ａ講座も申し込まなかった。

このとき確実にいえるのはどれか。

１ Ａ、Ｂ、Ｃの３講座を申し込んだ人がいた。
２ Ａ、Ｂの講座だけを申し込んだ人がいた。
３ Ｂ、Ｃの２講座だけを申し込んだ人がいた。
４ Ｂ講座だけを申し込んだ人がいた。
５ Ｃ講座だけを申し込んだ人がいた。


答えは1なのだそうです。

私は単純にCの講座を申し込まなかった人はAの講座も申し込まなかったのだから、
B講座だけを申し込んだ人がいるんじゃないか(つまり4)と考えてしまうのですが…

この問題の解説には、

C講座に申し込まなかった人は、A講座も申し込まなかった

の部分を対偶にして、

A講座に申し込んだ人は、C講座も申し込んだ

となるため答えは1となっているのですが、
A講座に申し込んだからといって、必ずC講座にも申し込んだことになるの？
と、考えるうちに完全にドツボにはまってしまいました…。


何故答えが4ではないのかをお教え下さい。

また、この問題の解き方のコツといいますか、何故対偶を使うのだろうと混乱してしまっているので、その部分もお教え下さるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/03 16:26

>A講座に申し込んだからといって、必ずC講座にも申し込んだことになるの？

　順番に考えてみましょう。

>Ｃ講座を申し込まなかった人は、Ａ講座も申し込まなかった。
→１「C講座に申し込まなかった人」であるならば２「A講座を申し込まなかった人」である。

と書き直しておきましょう。１が成立すれば２が成立するわけです。

　これは「C講座を申し込まなかった人」⊆「A講座を申し込まなかった人」（⊆は「含まれる」）ということです。

>A講座に申し込んだからといって、必ずC講座にも申し込んだことになるの？
→３「A講座に申し込んだ人」、かつ、４「C講座に申し込まなかった人」が1人でもいるとします。

　この４は上記の１です。これが成立するとします。すると、２「A講座を申し込まなかった人」であることが成立します。すると、３「A講座に申し込んだ人」という前提条件と矛盾します。

　講座は申し込むか、申し込まないかの二択ですから、「A講座に申し込んでいて、かつ、A講座に申し込んでいない」ということは成立しないわけです。

　そうなると、

→３「A講座に申し込んだ人」、かつ、４「C講座に申し込まなかった人」は1人もいない。

ということになります。これをさらに書き換えれば、

>A講座に申し込んだ人は、（全て）C講座も申し込んだ

という対偶が成立しているということを確認できます。この状況はA講座を申し込んだ人の集合がC講座を申し込んだ人の集合に含まれることを意味しています（ロはずれないよう入れたものでスペースと思ってください）。

┏━━━━━━━━━━━━┓
┃Ｃ講座を申し込んだ人ロロ┃
┃┌──────────┐┃
┃│Ａ講座を申し込んだ人│┃
┃└──────────┘┃
┗━━━━━━━━━━━━┛

　そしてA講座を申し込んだ人の中にはB講座も申し込んだ人がいるのですから、A, B, C全講座を申し込んだ人が少なくとも1人はいることになります。

　確実にいると言えるのは（以下、例えば、AはA講座に申し込んだ人、非AはA講座に申し込んでいない人、の略とします）、

・AかつBの人（与えられた条件）
・非Cかつ非Aの人（与えられた条件）
→・AかつCの人（対偶）

となります。これらの条件以外の人がいる可能性はありますが、与えられた条件からは導き出せないので、確実ではありません。

>２ Ａ、Ｂの講座だけを申し込んだ人がいた。

　AかつBかつ非Aということですが、A講座を申し込んだ人は必ずC講座も申し込んでいるので間違い。そういう人はいない。

>３ Ｂ、Ｃの２講座だけを申し込んだ人がいた。

　BかつCということですが、いるかもしれないが、確実だとは言えない。

>４ Ｂ講座だけを申し込んだ人がいた。

　Bかつ非Aかつ非Cで、いるかもしれないが、確実だとは言えない。

>５ Ｃ講座だけを申し込んだ人がいた。

　Cかつ非Aかつ非Bで、いるかもしれないが、確実だとは言えない。

　もし、これで分からないときは補足欄で仰せつけください。ベン図などを併用しての補足説明が可能かもしれません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

ご丁寧な説明感謝いたします。
飲み込みの悪い私ですが、一つ一つ読ませていただいて理解することが出来ました。

どうやら私は、Cを申し込まなかった人はAも申し込まなかった、の部分で
Cを申し込まなかった人の中に、Aを申し込まなかった人がいる(人数的にC＞A)と勘違いしていたようです。

なるほど、と納得できました！
この手の問題が苦手で苦労しているのですが、なんとなく解き方がわかったように思います。

本当にありがとうございました！

お礼日時：2014/05/03 18:46

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2014/05/04 01:38

小学校からおなじみの集合の図を使って考えるとわかりやすいでしょう。

条件１を「Ａ、Ｂ両講座を申し込んだ人がいた。」
条件２を「Ｃ講座を申し込まなかった人は、Ａ講座も申し込まなかった。」とします。

条件１は集合Ａと集合Ｂに重なる部分があることを示します。ただし、下の図（左上）は一例で、ＡがＢにすべてすっぽり含まれる場合や、逆にＢがＡにすべて含まれる場合、さらにはＡとＢが完全に重なる可能性もあります。確実に言えることは「集合Ａと集合Ｂに重なる部分がある」ということだけです。

次に条件２は、集合Ｃの外側は集合Ａの外側であることを示します。集合Ａが集合Ｃにすべてすっぽり含まれる場合（下の図の左下）がわかりやすい例ですが、これもＡとＣが完全に重なる場合もあり得ます。確実に言えることは「集合Ａの要素はすべて集合Ｃの要素である」ということです。

この２条件をまとめたのが下の図の右側です。２条件ではＢとＣの関係について直接は何も言っていません。したがってＣが最も小さくＡと完全に一致する場合（右上）もあれば、Ｃが大きくＢがすべて含まれる場合もあり得ます。

ここで改めて答の選択肢をみると、右上でも右下でも成り立つのは１だけです。ご質問にある４は右上のような場合にのみ成り立ち、右下の場合には成り立ちませんので「確実にいえる」ものではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

図まで入れて頂き、大変分かりやすかったです。
完全に基本的なことを忘れていたようです…。

助かりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/05 18:37

No.4 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/05/03 17:02

第一の条件から分かるのは「AとBは申し込んだけれどCは申し込まなかった人」と「A、B、Cの三つとも申し込んだ人」の少なくともどちらかはいたということです。

そして第二の条件から前者はあり得ないということがわかります。「Cは申し込まなかった人」はAも申し込まなかったというのですからね。
だから後者の「A、B、Cの三つとも申し込んだ人」は必ずいるということになります。

全部書き出すと
(1)Aだけ　(2)Bだけ　(3)Cだけ　(4)AとBだけ　(5)AとCだけ　(6)BとCだけ　(7)AとBとC　(8)どれも申し込んでいない
のうち、第一の条件で(4)と(7)の少なくともどちらか一方は存在するということがわかります。
そして第二の条件で(1)と(4)は存在しないということがわかります。(1)も(4)もCを申し込んでいないのにAを申し込んでいるので条件にあいませんね。
だから(2)、(3)、(5)、(6)、(8)は存在するかどうか判断できず、(7)は確実に存在し、(1)と(4)は存在しない、ということになるのです。

あなたは「A講座に申し込んだからといって、必ずしもC講座に申し込んだことになるの？」と悩んでいらっしゃるようですが、Aに申し込んだ人がCに申し込んでいないとなると、その人は「Cには申し込んでいないけれどAには申し込んでいる」ということになるから条件にあいませんよね。
これが申し込んだ順番まで考える問題であれば「Cに申し込んだ後でAに申し込んだ人はいなかった」という条件があったとしても「Aに申し込んだ後でCに申し込んだ人がいなかった」とは限らない、ということになりますが、ここでは順番は関係ありません。
また、これらの条件は「Bだけ申し込んだ人」についての判断する材料にはならないでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

一つ一つ解説して頂いて、大変分かりやすかったです。
＞「Cには申し込んでいないけれどAには申し込んでいる」ということになるから条件に合わない
の部分になるほど、確かにそうだ、と納得することができました。

助かりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/05 18:42

No.3 回答者： icu119#1 回答日時： 2014/05/03 16:53

数学にはうとい者ですが、おもしろそうなので。

要するに質問が求めているのは、「確実にいえること」となっています。

かりに（4）が正解だとすると、（3）や（5）に該当する人がいたかもしれない。

しかし、「確実ではない」。

憶測の域を出ない。

（2）は問題文に書いてあるのに一番ちかいが、

「Ａ講座・Ｂ講座のふたつの講座にしか申し込まなかった」とは、言い切れない。

もしかすると、Ｃ講座も申し込んだ人がいるかもしれない。


「Ａ・Ｂ両講座を申し込んだ人が、Ｃ講座を申し込んだ人がいる可能性がある。」

また、問題文から「Ａ・Ｂ両講座を申し込んだ人が、Ｃ講座を申し込まなかった」は成立しない。

「Ｃ講座に申し込まなかった人は、Ａ講座も申し込んでいない」からね。

他人に説明が上手ではないので、わかりにくい説明であればお許しください。


問題集の解説の部分ですが、

「Ａ講座に申し込んだ人（の中に）は、Ｃ講座を申し込んだ（人がい可能性がある）」

と言いたいのではないでしょうか。

　Ｃ講座に申し込んだのは1人でもいればいいわけです。

なにも「全員申し込んだ」とは書いていない。

だから、「必ずＣ講座に申込んだ」と考えるからダメなの。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

中々難しくていつも混乱してしまうのですが、少し考え方がわかったような気がします。

ありがとうございました！

お礼日時：2014/05/05 18:35

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2014/05/03 16:27

Cを申し込まなかった人が

Aを申し込まなかったからといって、
それらの人が
必ずBを申し込んだとは限りません。

命題
Cを申し込まなかったならば
Aを申し込まなかった
が
真であるから、その対偶である
Aを申し込んだならば
Cを申し込んだ
も
真です。

一方、AもBも申し込んだ人がいるの
ですから、
AもCもBも申し込んだ人がいる、
というのが答えです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

確かによく考えてみると、Bだけを申し込んだ人がいる、ということは確実に分かるものではないですね。

ご説明いただいて、やっと解き方がわかりました。
ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/03 18:52