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以下の問題の解答例の最後の部分で何故こうなるのか、わからない部分があります。


【問題】

連立不等式 3x-7≦5x-3・・(1) 2x-6<3a-x・・(2)  の解について、整数がちょうど3個含まれる場合の定数aの範囲を求めよ。

【解答例】
 (1)を解くと x≧-2

 (2)を解くと x<a+2

 (1)、(2)の共通範囲は -2≦x<a+2

 これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は x=-2、-1、0 であるから、

 a+2 が満たす条件は 0<a+2≦1・・・・★

 各辺から2を引いて -2<a≦-1

 
 ★マークの部分、不等号に=が付く位置についてがよくわかりません。
 私は、整数解が0を含むので 0≦a+2<1 となるのでは?と考えました。
 また、1を含んでしまうと正数解は4個になるのでは?とも思いました。

 なぜ、私の考え方が間違いで、正解が解答例のようになるのかご教示ください。

gooドクター

A 回答 (3件)

-2≦x<a+2


テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大きい数になると、整数解に1が入ってきてしまう。
<1 にした時はまだ、解に1を含まないのでぎりぎりセーフ(ここが確かにわかりにくいところですね)。
→ ≦○ ではなく <○ ・・・と考えない。上と違って、こう考え始めるとわけがわからなくなる。
正しくは、注目すべきは、
0.9だと解に1が入らなくて、1でも解に1が入ら「ない」、ということ。
つまり<○の○は、1を含む、ということ。

だから
0<a+2≦1
になるのです。


少し視点を変えましょう。
0≦a+2<1 と考えたのでしょう。
正解と異なるのは (1)左の数字 0を含む (2)右の数字 1を含まないですね。
ではまず、
a+2=0 となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<0 となります。
ほら、x=0とはならなず、解は2つだけですね。

次にa+2=1未満 となる場合を考えましょう。こちらの方が考えにくいです。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1より微妙に小さい値 となります。
これは正しいです。x=-2、-1、0となります。
でも、未満じゃなくてa+2=1 だったらどうでしょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1 となります。
こうやって具体的に書くと、x=-2、-1、0という条件を満たすことがわかりませんか。
a+2 に1を含んでも、xは「その数未満(<)」なので、正数解は4個にはなりません。

そして、上の方に書いた考え方に戻って、
「では、1より微妙に大きい値、1.1では?」
という検証に続くのです。


よくこういう不等号の問題は、数直線の○とか●で含むとか含まないとかやると思いますけど、数直線も万能ではないんです。むしろ、「わざと微妙に小さな/大きな値を考え」て、それがアウトかセーフかを考えた方が、訓練になるでしょう。
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この回答へのお礼

解説をじっくり読んでもしばらく??だったのですが、

>ではまず、
a+2=0 となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<0 となります。
ほら、x=0とはならなず、解は2つだけですね。

の部分で つながりました!!!
<a+2の部分を<0に置き換えると理解できました!

私の頭相当固かったです。。
モヤモヤが晴れました!ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/13 22:05

彼方は考え過ぎです!余り深く考え無い様に^0^?


私の知人で大学で理数系の学部に進学しましたが結局は√もコサインも役に立たない!社会に出て専門職でしか、先ず使う事は無い!一番役立つのは「社会での勉強」だ!と言ってましたが私もそう思います^0^
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-2≦x<a+2



を満たす整数解が

x=-2、-1、0

となるようにしたいのです。ここで、

a+2 = 0 であるとすると、

-2≦x<a+2=0


となって、xの範囲は-2以上で0よりは小さいものになってしまいます。0を含まない範囲なので、x=0 はありえなくなってしまいます。ですから、

a+2 > 0 でないといけないことになります。

逆に、

a+2 = 1 であっても、

-2≦x<a+2=1

となって、x は-2以上であって、1よりは小さくなくてはならないので、x=1を解に含みません。
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この回答へのお礼

とても丁寧な解説ありがとうございました!

a+2 = 0 であるとすると、

-2≦x<a+2=0

の部分で解決に至りました!スッキリしました!!
感謝致します(^^)/

お礼日時:2014/05/13 22:10

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