数I 連立不等式の整数解の条件

以下の問題の解答例の最後の部分で何故こうなるのか、わからない部分があります。
↓

【問題】

連立不等式　３x－７≦５x－３・・(1)　２x－６＜３a－x・・(2)　　の解について、整数がちょうど３個含まれる場合の定数aの範囲を求めよ。

【解答例】
　(1)を解くと　x≧－２

　(2)を解くと　x＜a＋２

　(1)、(2)の共通範囲は　－２≦x＜a+２

　これを満たす整数xがちょうど３個あるとき、その値は　x=－２、－１、０　であるから、

　a+2　が満たす条件は　０＜a+２≦１・・・・★

　各辺から２を引いて　－２＜a≦－１

　
　★マークの部分、不等号に＝が付く位置についてがよくわかりません。
　私は、整数解が０を含むので　０≦a+2＜１　となるのでは？と考えました。
　また、１を含んでしまうと正数解は４個になるのでは？とも思いました。

　なぜ、私の考え方が間違いで、正解が解答例のようになるのかご教示ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/13 10:24

－２≦x＜a+２

テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

－２≦x＜　－０.１ ・・・解－２、－１
－２≦x＜０ 　　　　・・・解－２、－１
－２≦x＜０.１ 　　・・・解－２、－１、０
つまり、０より少しだけ大きい数でないと、整数解に０が入ってこない。
０はダメ。
→　０≦　ではなく　０＜　（等号含まない）。

－２≦x＜０.９ ・・・解－２、－１、０
－２≦x＜１ 　　　・・・解－２、－１、０
－２≦x＜１.１ ・・・解－２、－１、０、１
つまり、１より少しだけ大きい数になると、整数解に１が入ってきてしまう。
＜１　にした時はまだ、解に１を含まないのでぎりぎりセーフ（ここが確かにわかりにくいところですね）。
→　≦○　ではなく　＜○　・・・と考えない。上と違って、こう考え始めるとわけがわからなくなる。
正しくは、注目すべきは、
０.９だと解に１が入らなくて、１でも解に１が入ら「ない」、ということ。
つまり＜○の○は、１を含む、ということ。

だから
０＜a+２≦１
になるのです。


少し視点を変えましょう。
０≦a+2＜１　と考えたのでしょう。
正解と異なるのは　（１）左の数字　０を含む　（２）右の数字　１を含まないですね。
ではまず、
a+2＝０　となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は　－２≦x＜０　となります。
ほら、x=０とはならなず、解は２つだけですね。

次にa+2＝１未満　となる場合を考えましょう。こちらの方が考えにくいです。
(1)、(2)の共通範囲は　－２≦x＜１より微妙に小さい値　となります。
これは正しいです。x=－２、－１、０となります。
でも、未満じゃなくてa+2＝１　だったらどうでしょう。
(1)、(2)の共通範囲は　－２≦x＜１　となります。
こうやって具体的に書くと、x=－２、－１、０という条件を満たすことがわかりませんか。
a+2　に１を含んでも、xは「その数未満（＜）」なので、正数解は４個にはなりません。

そして、上の方に書いた考え方に戻って、
「では、１より微妙に大きい値、１.１では？」
という検証に続くのです。


よくこういう不等号の問題は、数直線の○とか●で含むとか含まないとかやると思いますけど、数直線も万能ではないんです。むしろ、「わざと微妙に小さな／大きな値を考え」て、それがアウトかセーフかを考えた方が、訓練になるでしょう。

この回答へのお礼

解説をじっくり読んでもしばらく？？だったのですが、

>ではまず、
a+2＝０　となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は　－２≦x＜０　となります。
ほら、x=０とはならなず、解は２つだけですね。

の部分で　つながりました！！！
＜a+2の部分を＜０に置き換えると理解できました！

私の頭相当固かったです。。
モヤモヤが晴れました！ありがとうございました！

お礼日時：2014/05/13 22:05

No.3 回答者： senna-since1994 回答日時： 2014/05/13 14:37

彼方は考え過ぎです！余り深く考え無い様に＾０＾？

私の知人で大学で理数系の学部に進学しましたが結局は√もコサインも役に立たない！社会に出て専門職でしか、先ず使う事は無い！一番役立つのは「社会での勉強」だ！と言ってましたが私もそう思います＾０＾

No.1 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/13 02:09

－２≦x＜a+２

を満たす整数解が

x=－２、－１、０

となるようにしたいのです。ここで、

a+2 = 0 であるとすると、

－２≦x＜a+２＝０


となって、ｘの範囲は-2以上で０よりは小さいものになってしまいます。０を含まない範囲なので、ｘ＝０　はありえなくなってしまいます。ですから、

a+2 ＞ 0　でないといけないことになります。

逆に、

a+2 = １　であっても、

－２≦x＜a+２＝１

となって、ｘ　は-2以上であって、１よりは小さくなくてはならないので、ｘ＝１を解に含みません。

この回答へのお礼

とても丁寧な解説ありがとうございました！

a+2 = 0 であるとすると、

－２≦x＜a+２＝０

の部分で解決に至りました！スッキリしました！！
感謝致します（＾＾）/

お礼日時：2014/05/13 22:10