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相対速度v=v2-v1を用いて系の運動エネルギーを出したいのですがどのようにすればいいでしょうか?お願いします

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A 回答 (2件)

一般にはそれだけでは出ませんが、換算質量を使って重心運動の運動エネルギーと組み合わせれば求められます。



それぞれの質量をm1, m2
全質量をM=m1+m2
換算質量を μ= m1m2/(m1+m2)
重心の速度をV

として、全体の運動エネルギーKは

K = (1/2)MV^2 + (1/2)μv^2

系外から力が働かず最初から重心が動かないような条件であれば、

K =(1/2)μv^2

でvから運動エネルギーが求められます。

計算は、それぞれの位置ベクトルをr1, r2,
重心の位置ベクトルをR、相対ベクトルをrとして

m2 r2 + m1 r1 = M R
r2 - r1 = r

から

r1 = R - (m2/M)r
r2 = R + (m1/M)r

が得られるのでこれから

V = dR/dt
v = dr/dt = d(r2-r1)/dt = v2 - v1
v1 = dr1/dt = V - (m2/M)v
v2 = dr2/dt = V + (m1/M)v

となるので、全体の運動エネルギーを計算すれば

(1/2)m1 v1^2 + (1/2) m2 v2^2
= (1/2)m1 [V - (m2/M)v]^2 + (1/2) m2 [V + (m1/M)v]^2
= (1/2)m1 [V^2 - 2(m2/M)Vv + (m2/M)^2 v^2 ] + (1/2)m2 [V^2 + 2(m1/M)Vv + (m1/M)^2 v^2 ]
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)[m1(m2/M)^2 + m2(m1/M)^2]v^2
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)(m1m2/M)v^2
= (1/2)(m1+m2)V^2 + (1/2)μv^2

あるいは、質点系の運動は重心運動と重心まわりの運動に分離できることを知っていれば、それを使って、

K = (1/2)MV^2 + (1/2)m1(v1-V)^2 + (1/2)m2(v2-V)^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)m1[- (m2/M)v]^2 + (1/2)m2[(m1/M)v]^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)[(m1m2^2 + m2 m1^2)/M^2 ]v^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)[m1m2/M]v^2
= (1/2)MV^2 + (1/2)μv^2
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不可能です。



秒速0 m/sと1 m/sの場合
秒速1000 m/sと1001 m/sの場合

いずれも速度差は1 m/s ですが
運動エネルギーは全く違います。
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質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

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剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
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Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
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代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)


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