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確率の問題になるかと思います

袋の中に0から99までの100枚のカードがあります
この中から1と99のカードを出来るだけ多くの回数を引く方法を求めたいです

但し特殊なルールがあり、0を引いた場合であれば1と99の引いた回数はそのままカウントをし
カードを全部袋の中に元に戻す事で再度1からやり直す事が出来るとします

逆に、0が出ない場合であればリセットをする事は出来ず、1と99が既に引いた場合でも0が出るまで引き続けないといけません

全部のカードを引いた場合は強制的にリセットされまた最初の状態に戻ります

カードを引く確率はどれも同様に確かである場合に
有限回数(例として1000回)カードが引ける場合はどのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来るでしょうか?

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A 回答 (5件)

なるほど。



「どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来る?」

の意味がやっとわかりました。
画像がつぶれてしまうかも知れませんが、貼っておきます。
質問者様のお聞きになりたいことと私が出した例とで、考え方は同じ、ということがコンセンサス取れて良かったです。

最初は樹形図で考えるのが一番妥当と思います。Aが出てもJkが出てもそれ以外でも全く同じなら計算だけでやりやすいですけど、この問題では
「同じではない」ので、場合分けが必要 ですから、場合分けと数字を同時に描き込める樹形図が便利、という理由になります。
道筋を順に追えば14分の1かける13分の11かける12分の1かける・・・と確率を求めやすいですし、「互いに排反」(道が違えば、同時に起こることはあり得ない)ということについてうっかり2回数えるミスを防げますからね。

さすがに全部描く余裕はありません。仮に5回目としても3の5乗=273なので、場合分けも膨大になって一枚の紙に描くのは不可能でしょう。

しかし、「できるだけ単純化して考える」というヒントは差し上げましたから後はご自分でがんばってみてください。
時間の都合上私は最後の答えまではお付き合いできないと思います。

ただ、「30回まで引く」という例を挙げましたが、15回まで考えれば充分だと思います。カード枚数の14を超えるので、「全て出尽くした」というケースも1回は経験できますから。15回まで考えれば、30回まで考えるのと一緒のこと、という意味です。(きっと。どこか間違っていたら、他の皆さん、質問者様にアドバイスして差し上げてください。)


そこで・・・さらに楽にします。
カードはK(キング)までなくても別にいいんです。Q(クイーン)まで、9までしかなくても分母が変わるだけで考え方は変わらないです。
では、いっそのこと、カードはA、Jk、2、3の4枚だけでもいいんじゃないんでしょうか。(00~99と、00~50+99とでも、考え方は変わらないですよね。ならば00~10+99としたら?)

あんまりカード枚数を少なくし過ぎると、計算するときに混乱しやすいので注意力を使いますから、私はあえて5枚くらいにしますけどね。(2分の1とか4分の2とか4分の1とかがあまりにも頻繁に出ると、どれがどの数字か間違いを起こしやすくなるし、「答えの偶然の一致」を起こしやすくなって、ミスを見つけにくくなる、と個人的に思っています。)

5枚なら6回まで考えれば、「全て出尽くした」というケースも1回は経験できるわけです。
なんとか手で計算できるレベルですね(笑)


添付した樹形図では、
「Jkが出ても絶対にリセットの権利を使わない」
「Jkが出たら迷わずすぐにリセットする」
の2つの極端な例を示しています。
0のところはそれより先は考える必要はないので無視してください。(コピペしやすいようにその先まで描いているだけです。)
実際には質問者様は、
「Jkが出たときに、それまでにAが出ているかいないかで、リセットの権利を使うか使わないかの判断をしたい」
ということですよね。
ただ、私は、同じ樹形図の中に、Jkが出たときの右に、「リセットする」「リセットしない」の場合分けを描きたくありません。それをやってしまうと、
「リセットする」「リセットしない」0と1
「リセットする」「リセットしない」1と0
というように掛け算を場合分けしないといけないからです。一歩間違うと、「リセットする」場合と「リセットしない」場合の確率を同時に考えてしまう危険があります。

そこで、どうせ「リセットする」「リセットしない」で分けるなら、左の樹形図と右の樹形図で分けたのです。
「3枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
「6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
「12枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
を考えるのは、予想よりは意外と簡単に描けると思いますよ。分母の部分の14を6とかに変えれば良いわけですから。
ただ、6枚目の場合、5枚目までの確率も掛け算する必要がありますけどね。


大学入試に出てもおかしくはないレベルだと思います。1問30分かけさせる大学の場合ですけど。
計算上は、樹形図で立てた方針をもとに、数列の漸化式で解くと思います。
「リセットした後k回目で初めてAが出る確率」をPk、とおくかな?

やっていないからわかりませんけど、このように、Aが出るか出ないかが最も重要な分かれ目になる場合、それをリセットとの関係で表せば、Pk=(kの式)で書けると思います。

損得の分岐点までは示せなくてすみません。


なんでこういう問題を思い付いたのか、個人的に興味ありますけどね(^^)
「確率 どの方法が一番多くなるか」の回答画像3
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この回答へのお礼

なるほど
詳しい説明をありがとうございます
少しこちらでも回答を参考に計算してみようかと思います

回答ありがとうございました

お礼日時:2014/05/15 11:20

#3です。



273?

○ 243です。

頭がオーバーヒートしました。失礼。
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なるほど。



「どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来る?」

の意味がやっとわかりました。
画像がつぶれてしまうかも知れませんが、貼っておきます。
質問者様のお聞きになりたいことと私が出した例とで、考え方は同じ、ということがコンセンサス取れて良かったです。

最初は樹形図で考えるのが一番妥当と思います。Aが出てもJkが出てもそれ以外でも全く同じなら計算だけでやりやすいですけど、この問題では
「同じではない」ので、場合分けが必要 ですから、場合分けと数字を同時に描き込める樹形図が便利、という理由になります。
道筋を順に追えば14分の1かける13分の11かける12分の1かける・・・と確率を求めやすいですし、「互いに排反」(道が違えば、同時に起こることはあり得ない)ということについてうっかり2回数えるミスを防げますからね。

さすがに全部描く余裕はありません。仮に5回目としても3の5乗=273なので、場合分けも膨大になって一枚の紙に描くのは不可能でしょう。

しかし、「できるだけ単純化して考える」というヒントは差し上げましたから後はご自分でがんばってみてください。
時間の都合上私は最後の答えまではお付き合いできないと思います。

ただ、「30回まで引く」という例を挙げましたが、15回まで考えれば充分だと思います。カード枚数の14を超えるので、「全て出尽くした」というケースも1回は経験できますから。15回まで考えれば、30回まで考えるのと一緒のこと、という意味です。(きっと。どこか間違っていたら、他の皆さん、質問者様にアドバイスして差し上げてください。)


そこで・・・さらに楽にします。
カードはK(キング)までなくても別にいいんです。Q(クイーン)まで、9までしかなくても分母が変わるだけで考え方は変わらないです。
では、いっそのこと、カードはA、Jk、2、3の4枚だけでもいいんじゃないんでしょうか。(00~99と、00~50+99とでも、考え方は変わらないですよね。ならば00~10+99としたら?)

あんまりカード枚数を少なくし過ぎると、計算するときに混乱しやすいので注意力を使いますから、私はあえて5枚くらいにしますけどね。(2分の1とか4分の2とか4分の1とかがあまりにも頻繁に出ると、どれがどの数字か間違いを起こしやすくなるし、「答えの偶然の一致」を起こしやすくなって、ミスを見つけにくくなる、と個人的に思っています。)

5枚なら6回まで考えれば、「全て出尽くした」というケースも1回は経験できるわけです。
なんとか手で計算できるレベルですね(笑)


添付した樹形図では、
「Jkが出ても絶対にリセットの権利を使わない」
「Jkが出たら迷わずすぐにリセットする」
の2つの極端な例を示しています。
0のところはそれより先は考える必要はないので無視してください。(コピペしやすいようにその先まで描いているだけです。)
実際には質問者様は、
「Jkが出たときに、それまでにAが出ているかいないかで、リセットの権利を使うか使わないかの判断をしたい」
ということですよね。
ただ、私は、同じ樹形図の中に、Jkが出たときの右に、「リセットする」「リセットしない」の場合分けを描きたくありません。それをやってしまうと、
「リセットする」「リセットしない」0と1
「リセットする」「リセットしない」1と0
というように掛け算を場合分けしないといけないからです。一歩間違うと、「リセットする」場合と「リセットしない」場合の確率を同時に考えてしまう危険があります。

そこで、どうせ「リセットする」「リセットしない」で分けるなら、左の樹形図と右の樹形図で分けたのです。
「3枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
「6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
「12枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?」
を考えるのは、予想よりは意外と簡単に描けると思いますよ。分母の部分の14を6とかに変えれば良いわけですから。
ただ、6枚目の場合、5枚目までの確率も掛け算する必要がありますけどね。


大学入試に出てもおかしくはないレベルだと思います。1問30分かけさせる大学の場合ですけど。
計算上は、樹形図で立てた方針をもとに、数列の漸化式で解くと思います。
「リセットした後k回目で初めてAが出る確率」をPk、とおくかな?

やっていないからわかりませんけど、このように、Aが出るか出ないかが最も重要な分かれ目になる場合、それをリセットとの関係で表せば、Pk=(kの式)で書けると思います。

損得の分岐点までは示せなくてすみません。


なんでこういう問題を思い付いたのか、個人的に興味ありますけどね(^^)
「確率 どの方法が一番多くなるか」の回答画像3
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少しご質問の内容がわかりませんでしたが、


私が考えていることと同じだということを祈ります。

まず、書いていらっしゃいませんでしたけど、「リセットされる」という場合でも、累積回数は1から1000までずっと通しで数えているのですね? 「0を引くと、カードの数が増えてしまうので、1や99以外が出る確率が増えてしまう。だから0はなるべく引かない方が有利では?」と考えていらっしゃる気がします。

そうではありません。

カードの枚数を減らしましょう。
「スペードのA(エース)からK(キング)までとジョーカー(Jk)を加えた、14枚のトランプがある。山から全部なくなるまでカードは戻さず1枚ずつ引いていき、0になったらまた全てを元の山に戻す。またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。これを30回まで繰り返すとき、Aが出た回数を数える。」
という問題と同じになるはずです。

この場合、Aの出る確率は14分の1で永久に変わりません。
「え? 1枚目でA以外が出たら、2枚目は13分の1になるんじゃないの?」
と思うかも知れませんが、
それは、
「1枚目でA以外が出たもとで2枚目にAが出る確率」(条件確率)
ですから、
14分の13 かけるの 13分の1 になるので、結局14分の1です。
(高校の教科書に Pb=Pa x Pab という公式が載っています。)

ですから、一見ジョーカー(0)が出るか出ないかに左右されそうですが、いっつも当たりが出る確率は一緒なのです。

ただし! なんとなくギャンブルやゲーム開発に応用しそうな匂いがしますが、誰かと勝負する時には先に引く方が有利です。
なぜなら、先手が2分の1、後手も2分の1の場合、(野球やPKのように必ず同じ回数ずつやるなら公平ですが)先に順番が回ってきて当たりを引くと、後手は自動的に負けるからです。

以上より答えは、
どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来るでしょうか

カードを引く確率はどれも同様に確かである
ので、どんな工夫をしても1や99が出る合計回数には影響しない

です。

この回答への補足

回答ありがとうございます
QoooL様の上げた例に直しますと
「スペードのA(エース)からK(キング)までとジョーカー(Jk)を加えた、14枚のトランプがある。山から全部なくなるまでカードは戻さず1枚ずつ引いていき、0になったらまた全てを元の山に戻す。またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。これを30回まで繰り返すとき、Aが出た回数を数える。」

こちらの
「またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。」
ここの部分が少し異なり、全て戻す事が"出来る"なんです。

例えば5枚目でジョーカーが出た場合、その後に出るであろうAに期待して残りの9枚を引いていくか
それとも早めに全てを元の山に戻すかは自分で選択が出来るのです
逆に1枚目でAを引いた場合であってもジョーカーを引くか、14枚全てを引くまでリセットが出来ない
リセットの回数に特に制限は無いがトータルで100枚までしか引く事が出来ない

具体的な例として
1回目でジョーカーを引いた場合、Aを引いたら即座にリセットが出来るようにそのまま引く方が懸命だと考えられます
その後もし5回目でAを引いた場合、その時点で当たりは残っていないのでリセットをすれば余った10回分多く引く事が出来る
ただ、これが6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか?それともそのまま引き続けるべきなのか?


こういったルールの場合にAを最も多くの回数引くことが出来るのはどのような引き方になるのでしょうか?


自分が伝えたかったのはこのような形の質問でした
もしご覧になっておりましたら助力をお願い致します

補足日時:2014/05/15 00:44
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「袋の中から無造作に取り出して」ではなく「引く方法」があるの?



ってことは狙ってそれだけ引く事が可能ということ

しっかり見て間違いなく1→99→0と引けば667回で一番多くなる
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この回答へのお礼

あくまで引くのはランダムでカードを直接確認することは出来ないのです・・・
回答ありがとうございました

お礼日時:2014/05/15 00:45

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