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問題)整式f(x)と実数aがあり、条件(i),(ii)、(III)をみたしている。
(i)f(x)をx^2+3x+2で割ると5X+7余る。
(ii)f(x)をx^2+4x+3で割ると2x+a余る。
(III)f(x)は(i)、(ii)をみたす整式の中で次数が最小である。
このとき、aの値とf(x)を求めよ。

解答
(i)より、f(x)=(x+1)(x+2)Q(1)(x)+5x+7  (Q(1)(x):整式)・・・・(一)
(ii)より、f(x)=(x+1)(x+3)Q(2)(x)+2x+a (Q(2)(x):整式)・・・・(二)
(一)、(二)でx=ー1として、f(ー1)=2=ー2+a すなわちa=4
また、(一)、(二)より、f(ー3)=2Q(1)(ー3)ー8=ー2
すなわちQ(1)(ー3)=3⇔Q(1)(x)=(x+3)Q(x)+3  (Q(x)):整式
これを(一)に代入して
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+3(x+1)(x+2)+5x+7
この中で次数が最小のものはQ(x)=0である
すなわちa=4
(最低次のf(X))=3x^2+14x+13

ここから質問です。
Q(1)(x)=(x+3)Q(x)+3のQ(x)は、xの関数なら何でもいいのでしょうか。
これは(一)、(二)にx=ー3を代入したときにおいてのみ現れる条件であり、xに
他の数字を代入したらQ(x)の値がより限定されるということもありえるのでは
ないでしょうか。よろしくお願いします

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A 回答 (3件)

結論から先に言うとQ(x)は何でも良いです。



この結論は

f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+3x^2+14x+13

の第1項は x^2+3x+2 でも x^2+4x+3 でも割り切れるので、(i),(ii)の条件をfが満たすためには第2項で(i),(ii)を満たせば良いからです。

実際第2項は

3(x^2+3x+2)+5x+7

とも書けますし、

3(x^2+4x+3)+2x+4

ともかけるので、ふたつの条件を満たしています。

したがって第1項のQ(x)は定数だろうと x だろうと x+x^2+x^3 だろうと、なんであってもふたつの条件を満たすことになります。

ではなぜそうなるかということですが、 理由は関数f(x)を求めるために与えられた二つの式が、Q(1)(x)とQ(2)(x)の2通りには表されていますが、結局は同じものを表している式だからです。

これは連立方程式のようにふたつの異なる方程式を与えられているものではありません。実際連立方程式の場合でも、

y=x
2y=2x

のように本質的には同じものがふたつ与えられても解は無限に存在してしまいます。
これは式がふたつあるように見えて実際にはひとつしか式がなく、xとyに制限があまりかかっていないためです。

関数f(x)をQ(1)(x)とQ(2)(x)の2通りに表していますが、実際には同じものです。したがって

Q(1)(x)=(x+3)Q(x)+3

とおけば、ひとつめの式に代入して

f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)Q(x)+3x^2+14x+13

となりますが、ここでまた因数分解すると

f(x)=(x+1)(x+3){(x+2)Q(x)+3}+2x+4

となり、Q(2)(x)も

Q(2)(x)=(x+2)Q(x)+3

と決まってしまいます。
ふたつ式があるように見えますが、片方から片方を表すことができてしまうのです。

したがって、以降どんなxを代入してみても、当たり前の答えが返ってきます。例えば x=0のとき、1本目のf(x)の式も、2本目のf(x)の式も、

6Q(0)+13

となり、


6Q(0)+13=6Q(0)+13

の式からはなにも得られるものがありません。つまりなんの制約も得られないということです。
他のxでも同じことです。
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この回答へのお礼

非常に参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2014/05/19 07:26

「ありえるのではないでしょうか」と思うだけで, 自分で実行しようとは全く考えもしないのですか?

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この回答へのお礼

いろいろとやってみようと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2014/05/18 11:53

なぜそこに引っかかって、


f(x)=(x+1)(x+2)Q(1)(x)+5x+7
としたところには疑問を感じないのかよくわからないのですが、
上記でQ(1)(x)はf(x)をx^2+3x+2で割った商であるように、
Q(x)はQ(1)(x)をx+3で割った商でなければなりません。

x=3であればx+3=0なのでQ(x)はなんでもいいように見え
ますが、それ以外の場合にQ(x)に好き放題な整式をあてはめて
いたらそれこそ
Q(1)(x)=(x+3)Q(x)+3
とはならないでしょ?
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この回答へのお礼

解説ありがとうございます。大変参考になりました。

お礼日時:2014/05/18 11:41

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