数的推理 速さ・時間・距離の簡単な解き方

XやYと置くやり方で解くのが参考書に載っているやり方かと思います。

しかし、もっと簡単に解けないのかと調べてみると、比を利用して解くというやり方を見付けました。

ですが、そこに載っていた解き方の説明が大まか過ぎて、よくわかりません。

下の問題なのですが、どういう考え方なのか、ご教授お願い致します。


Ａ町からＢ町に向って一定の速さで歩いている人が、Ａ町発Ｂ町行きのバスに７分ごとに追い越され、Ｂ町発Ａ町行きのバスに５分ごとに出会った。
このバスはＡ町行き、Ｂ町行きともに等速度で走り、等間隔で運行しているものとすると、バスは何分何秒ごとに発車しているか。
　　
　１．５分４０秒
　２．５分５０秒　　　　　　　　　　　　　　　
　３．６分００秒　　　　　　　　　　　　　　　
　４．６分１０秒　　　　　　
　５．６分２０秒　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


答え、 ２　　　　　　　　


【速い解き方】(↓この途中式の解説をお願い致します)

　（7＋5）÷2＝6
　（7－5）÷2＝1
　（6＋1）×5÷6＝5と5/6　　よって５分５０秒

No.5 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/19 02:49

＃１、＃２です。

お返事ありがとうございます。

リンク先見ました。教えてくださり、ありがとうございます。

「超高速解法ＤＶＤシリーズ」を売るため、というアピールは否めませんね。（背景が、黒でなくて淡いピンクかグリーンにすればいいのに。笑）

アピールは良いと思いますよ。
だってＳＰＩなどの数的処理は時間との勝負で、１問平均６０秒目標ですから。

「ほら！　たった３行の式で解けちゃう！」
ということだけをアピールしていて、
「詳しくしりたい人・この超高速を身に着けたい人は、ＤＶＤ買ってね♪」
ということでしょう。
「教えてくれるサイト」ではなかったのが残念！　笑


私は、
＃３、＃４のredgarberaさんの回答で、完璧だ、と思っているんです。
「XやYと置くやり方で解くのが参考書に載っているやり方かと思います。しかし、もっと簡単に解けないのかと調べてみると、比を利用して解くというやり方を見付けました。」
の完全な答えになっています。
私がredgarberaさんにお礼を言いたいくらいです。
ま、回答者どうしのやり取りは推奨されていないので、差し控えましたけどね。

私が「独自で編み出した「公式」のような気がする」と言ったのは撤回しておきます。redgarberaさんのおっしゃる通り、和差算自体は、中学受験でも数的処理でもよくある手法ですから（例えば、持っているお金とか）。
ただ、
（7＋5）÷2＝6
（7－5）÷2＝1
は明らかに和差算なのに、
速さの比に和差算を適用した、ということの意味を理解できないまま、
こんなやり方頼りにする必要ない（正確には、「筆者は理由を書いておけよ」）と言ってしまったのは恥ずかしいなあ、
と思いました。

検索するとredgarberaさんと同じようなやり方をしている類似問題はたくさんあるようですね。私自身も中学受験の時に習ったような気もします。図に速さの比（それはつまり進んだ距離の比）を書き込む、というのが、正直私の弱点なのかも知れません。

redgarberaさんが画像添付を再度試みると思っているので、私が画像を付けるのは遠慮しました（ある意味私の図の改良版になるのかな、と予想しています）。
私も投稿時にシステムエラーになることがあります。運営に聞くとキャッシュか何かの問題だそうですが、キャッシュクリアしても解決しない場合があります。

あえて速度を分速で出さずに速度を比のまま表すところに妙がありますね。
前言撤回して、理解すれば、なかなか便利な解法だろうと認めます。


まあ、サイトに
　　自分の「感覚に合った解法」で勉強する！
とピンク色で書かれていましたから、質問者さんがご自分に合った方法を探すため、いろいろなパターンに触れてみるのは良いことだと思います。時間さえあれば。

ちなみに私なら、比のままでやるやり方を学んだ今になっても、方程式の方を選びます。それは、私にとっては、方程式を避ける理由が特にないし、今回の方程式が割と解きやすいから。

勉強になりました。がんばってください。

この回答へのお礼

サイトもご覧くださり、ありがとうございます！
教えるサイトではなくすいません…笑

自分に合った方法を見付けるのが大切ということですね。
私は苦戦ばかりしてますが…笑

おそらくこれからも苦戦すると思いますが、色んな解き方に触れてみようと思います。
何度も丁寧にご回答くださり、本当にありがとうございます！

お礼日時：2014/05/20 12:28

No.4 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/05/17 12:01

No.３です。

図を添付したつもりでいたのですが落ちていました。、再度投稿しようとしたのですが、システムエラーが出て図が添付できません。先ほどの説明でわかりにくいようでしたら補足をつけて下さい。説明を追加するか、少し時間を置いてから再度トライしてみます。

この回答へのお礼

先程の丁寧なご回答で、私の頭でも理解することができました。
画像添付はエラーが出てしまいやすいらしいので、先程のご回答だけで充分です。
ご丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2014/05/20 11:27

No.3 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/05/17 09:05

この問題では上りと下りの2種類のバスを考えるとわかりにくくなります。

バスは同じ方向に進む２台だけにし、人の向きを変えて考えましょう。

バス１と人が同じ場所にいるところから考えます。人がバスと同じ方向に進むと７分後にバス２に追い越され、バスと反対の方向に向かって進むと５分後にバス2と出会う、ということになります。
そうすると、小学校で習う旅人算の考えで、「バスとバスの間の距離÷（バスの速さ－人の速さ）＝７分」、「バスとバスの間の距離÷（バスの速さ＋人の速さ）＝５分」ということになりますね。

ここで比を使います。どちらも距離は同じなのですから、（バスの速さ－人の速さ）と（バスの速さ＋人の速さ）の比は５：７ということになります。同じ距離なら速いほど時間は短くてすむので、時間と速さは逆比になるのです。

そうしたら今度は「和差算」を使います。バスの速さと人の速さの和が７で差が５ですね。すると、和の７に差の５を足すとバスの速さ二つ分になるので、これを２で割るとバスの速さの比が出ます（人の速さがバスの速さより５少ないので、これに５をたしてやれば人の速さがバスの速さと同じになり、12はバスの速さ二つ分になる、という考えです。和差算についてご存知ならこのあたりは読み飛ばして下さい）。
一方、７から５を引くと人の速さふたつ分が出るので、これを２で割れば人の速さが出ます（バスの速さから５を引けば人の速さと同じになりますね。すると和は７－５で２となり、これは人の速さ二つ分ですから、これを２で割れば人の速さになるのです）。
というわけで、最初の二つの式はバスの速さと人の速さの比を出すものです。バスの速さと人の速さの比は６：１ということですね。
ちなみに、一つめの式でバスの速さが出ていて、バスと人の速さの和は７とわかっているのですから、二つめの式はこの和の７からバスの速さの６を引いて１と出してもかまいません。

そうしたら最後にまた旅人算を使います。
人がバスと反対の方向に進むとき、バスと人は５分で出会うのでした。そしてバスの速さが６、人の速さが１ですから、バスと人の速さの和の７に時間の５分をかけると、バスとバスの間の距離が出ます。この距離をバスの速さの６で割れば、この距離をバスが走る時間が出ますね。これが三つめの式の意味です。

以上ですがおわかりいただけたでしょうか。不明な点がありましたら補足をつけて下さいね。

この回答へのお礼

お返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます！

凄く分かりやすく説明して頂き感謝致します。
旅人算の考え方を完全に忘れてしまっていて(汗)、ご回答を読んで「あぁ、そうか！」と凄く納得しました。

こういった問題は昔は得意だったのですが、今はすっかり苦手になってしまって…
でも、ご回答を読んだら解き方が分かり、すっきりしました。

ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/20 11:22

No.2 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/17 00:41

＃１です。

さっき図の中で１箇所間違えていたのでお詫びして訂正します。

下の7Ｘ　→　5Ｘ

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2014/05/17 22:02

No.1 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/17 00:34

普段、小学生の中学受験をよく指導します。

しかしこの問題は、小学生には少し困難と感じます。
「もっと簡単に解ける方法」というのが、小学生の解き方、ということだと思ったのですがね。

大人にとっては、方程式があるので決して難しくない問題です。
これまで大人のＳＰＩ数的処理受験を何人か指導してきました。
しかし書いていらっしゃる【速い解き方】は見たことありません。
おっしゃる通り　XやYと置くやり方（方程式）で解くのが一般的です。


先に率直な感想を言わせていただきます。
本も予備校も、「売れる」ために、独自の「とっておきの必殺ワザ」を編み出そうとします。
・・・というか、「もっと、画期的な解き方がないかな」と常に考えるのが、教師のサガだと思いますが。

でもその本が、【速い解き方】と言いながら、理解するのにめちゃくちゃ時間かかったら、本末転倒だと思いませんか？
私は結局、書いていらっしゃる【速い解き方】の真意は全てはわかりませんでした。何か独自で編み出した「公式」のような気がします（皆が認めないと公式と呼ぶのは厳密ではないですけどね）。

方程式を理解・習得するのが早いか、
独自の公式を丸暗記してしまうのが早いか、
ということだと感じますよ。

でも、覚えにくい公式だったらリスクも高いので、私は普段、理解する方をオススメしています。
以下解説です。比を利用しているとは厳密には言えません。ですから、質問者様の求める回答にはなっていません。
「やり方を見付けました」とおっしゃっているので、「（ネットなら）どこで見つけたのか」を教えてくだされば見てみます。

大まか過ぎる説明しかしないサイトなら、あまり頼りにしない方が良いんじゃないか、というのが私の本音ですけどね。
しかし、「方程式を使わずに済むなら、使わない方法でやりたい」という方程式の嫌いな大人の生徒様とも今まで出会ってきましたので、お気持ちはわかります。


さて以下解説です。添付画像と合わせてご覧ください。
右側はダイヤグラムと呼ばれるもので、スペースが余ったからついでに描いたものです。
ダイヤグラムの方が理解が得意な人もいますけど、たいていの人は嫌がるので、右半分は無視していただいてけっこうです。

距離に単位がないと説明しにくいので、便宜的にｍ（メートル）とします。
バスが発車する間隔を　ｔ（分）とします。
人の速さを　Ｘ（ｍ／分）とします。
バスの速さを　Ｙ（ｍ／分）とします。
まず、７分間隔や５分間隔の場合について説明します。

もし人が立ち止っていたら、今目の前を通過するバスと、その後に来るバスとの距離は、
（速さ）ｘ（時間）＝（距離）
Ｙｔ（ｍ）
です。

ところが人が動くと、
追いかけるバスはその分余分に走らないといけません。
すれ違うバスはその分走る距離が短くて済みます。

【追いかけ】
人もバスも７分間
最初に開いていた距離は　Ｙｔ
Ｙｔ＋Ｘｘ７＝Ｙｘ７　　・・・式１
（または進んだ距離の差　Ｙｔ＝Ｙｘ７－Ｘｘ７　）
（Ｘｘ７は　Ｘかける７　速さかける時間）

【すれ違い】
人もバスも５分間
最初に開いていた距離は　Ｙｔ
Ｙｔ－Ｘｘ５＝Ｙｘ５　　・・・式２
（または進んだ距離の和　Ｙｔ＝Ｙｘ５＋Ｘｘ５　）

あとは式１と式２を連立。
式１　５倍、式２　７倍
５Ｙｔ＋３５Ｘ＝３５Ｙ
７Ｙｔ－３５Ｘ＝３５Ｙ

辺々足して
１２Ｙｔ＝７０Ｙ

Ｙが消える。
ｔ＝７０／１２＝３５／６＝5と5/6
Ｘ（人の速さ）は求める必要ないが、求めようと思ったら求められる。


ここからが真の解説です。
今、７とか５とか書いたのをそれぞれＡとＢに置き換えてください。（Ａ＞Ｂ）

【追いかけ】
Ｙｔ＋ＸｘＡ＝ＹｘＡ　　・・・式３
【すれ違い】
Ｙｔ－ＸｘＢ＝ＹｘＢ　　・・・式４

式１と式２を連立すると
（Ａ＋Ｂ）Ｙｔ＝２ＡＢＹ

これより
ｔ＝２ＡＢ／（Ａ＋Ｂ）
・・・「独自の公式」ってやつです。

Ａ＝７、Ｂ＝５を入れれば、
７ｘ５ｘ２／１２　となり、7×5÷6　と同じ式になりますから。


なんで私がその本（サイト？）を批判したのかという一番の理由は、
（7＋5）÷2＝6
（7－5）÷2＝1
再び　（6＋1）　という足し算を行う、という無駄を行っているからです。
そういうことをするなら、本に
（7＋5）／2＝6
（7－5）／2＝1
の意味を書いていないといけないですよね、質問者様と同感です。
（Ａ＋Ｂ）／2
（Ａ－Ｂ）／2
を足すと、
（Ａ＋Ｂ）／2＋（Ａ－Ｂ）／2＝Ａ
なんです。
なら最初からＡでいいじゃないか、
わざわざ足して２で割る、引いて２で割るをやらせたいなら、筆者は理由を書いておけよ、
というのが私の感想です。
（6＋1）×5／6
↓
7×5／6　でいいんですよ。
６は（Ａ＋Ｂ）／２　ですから
ＡＢ／（（Ａ＋Ｂ）／２）
つまり
ＡＢｘ２／（Ａ＋Ｂ）
つまり
２ＡＢ／（Ａ＋Ｂ）
です。
この式の意味は上に書いた通りです。

比の解き方でできなかった自分自身は悔しいですけどね。何だろう？
（以上、そもそも、「なんだ、この方が簡単♪」という実感がないと、わざわざそれをやる必要がない、という私の感想をお伝えしました。）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
中学受験のご指導をされている回答者様のご意見、大変参考になりました。

どうしても時間がかかってしまうので、短縮できないものかと参考書やサイトを見て模索していました。
わかるものもあれば、わからないものもあり…。
なるほど、確かに独自の法則というものが存在するのでしょうね。

ご丁寧な解説をして頂き、より問題の理解を深めることができました。
ありがとうございます。

因みに、こちらが私が見たサイトです。
サイトの下の方に、似た問題の解説が割りと丁寧に書かれています。
しかし質問させて頂いた問題の解説は載ってなかったため、どうにも私には理解できず…;;。

回答者様は数学がお得意のようなので、もしかしたら私の文章なんかではなく、サイトをご覧になられたらお分かりになるのかもしれませんね。
もしお時間があれば、覗いて見てください。
http://www.8000.jp/fighting.html

お礼日時：2014/05/17 22:01