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 次の(1)~(5)にあたる実数 c に関する条件は、条件 │c│≦2 が成り立つための、

 (A) 必要条件  (B) 十分条件  (C) 必要十分条件  (D) 必要条件でも十分条件でもない

 のうち最も適切なものとその理由を答えよ。

 (1) c≦2             (2) c^2-2≦0          (3)すべての実数xに対して x^4-c≧0

 (4) ある実数xがあり、(x-1)^2+c^2≦4となる   (5) x<1 ならば cx<2


 この問題の解答をお願いします。

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A 回答 (3件)

必要条件、十分条件に関してはいろいろ表現がありますが、



p → q

のとき、pをqの十分条件と言い、qをpの必要条件と言います。

個人的にわかりやすいのは図で、丸をひとつ描いてqとします。その中にもうひとつ丸を描いてpとします。そうするとpに含まれている部分はqにも含まれています。つまりp→qです。

この図の中で、中に入っている丸が十分条件です。外側の丸が必要条件です。

さて、│c│≦2 というのは、-2≦c≦2 と同じことですが、これよりゆるいcの条件が必要条件になり、これよりきつくcを制限するものが十分条件になります。

例えば(1)は必要条件です。なぜなら -2≦c≦2 は両側からcを制限していますが、c≦2は片側からしか制限していません。ゆるい条件です。

(2)は十分条件です。
c^2-2≦0 を別の形にすると、-√2≦c≦√2 となります。
√2≦2 なので、これは-2≦c≦2よりきつい制限となります。cがー√2と√2の間にあるなら、当然-2と2の間にあることになるからです。

(3)は必要条件でも十分条件でもありません。
x^4が一番小さくなるのはx=0のときで、このときx^4=0です。
したがって全てのxに対して 
x^4-c≧0
となるのは、一番小さいとき、つまりx=0のとき
0-c≧0 となればよいので、
c≦0 です。
ですが、この条件だけではcは例えば-3かもしれません。-3は-2≦c≦2を満たしていません。
逆にcの条件が-2≦c≦2のとき、cは1かもしれません。ですが1はc≦0を満たしていません。
したがって必要でも十分でもないのです。

(4)は必要十分条件です。
(x-1)^2+c^2≦4 を移項して、
(x-1)^2+c^2-4≦0 です。
左側は下に凸の二次曲線で、頂点が(1,c^2-4) です。
したがってこのグラフで一番低いところはx=1のときにc^2-4 です。
これがx軸より下になる点があるという条件を満たすためには
c^2-4≦0でなければなりません。
これは -2≦c≦2 と同じことです。したがって必要十分条件です。

(5)は十分条件です。
x<1 の両辺に正の数cをかけます。 cx<c
x<1 ならば cx<2 の条件から、c=2であることがわかります。
c=2 は -2≦c≦2 を満たしていますが、-2≦c≦2だからと言ってc=2とは限らないからです。
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この回答へのお礼

わかりやすい解答ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/20 20:32

(1)c≦2


>(A) 必要条件・・・答
理由:-2≦c≦2→c≦2は成り立つのが、逆は成り立たない。
(2)c^2-2≦0
>(B) 十分条件・・・答
理由:-√2≦c≦√2→-2≦c≦2は成り立つのが、逆は成り立たない。
(3)すべての実数xに対してx^4-c≧0
>(D) 必要条件でも十分条件でもない・・・答
理由:すべての実数xに対してx^4-c≧0なら0≧cであり、
0≧c→-2≦c≦2も、その逆も成り立たない。
(4)ある実数xがあり、(x-1)^2+c^2≦4となる
>(C) 必要十分条件
理由:(x-1)^2+c^2≦4なら0≦c^2≦4すなわち|c|≦2だから。
(5)x<1ならばcx<2
>(D) 必要条件でも十分条件でもない・・・答
理由:例えばx=0.1<1のときc<2/0.1=20であり、c=-2のとき
x=-10<1だとcx=20>2となるので、
(x<1ならばcx<2)→-2≦c≦2もその逆も成り立たない。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます!
助かりました。

お礼日時:2014/05/21 18:25

No1ですが、すみません(5)で間違ってました。



x<1 ならば cx<2

をみたすCの値は 0≦c≦2
でした。しかし十分条件であることには変わりません。
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