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1番は-(1/(n+1)+1/n+1/(n-1)+…+1/2+1)であっていますか?
2番はどうやったらいいかわからないので教えていただけませんか?

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A 回答 (1件)

(1)fn(x)=[e^(-x)-e^(-(n+1)x)]/[1-e^(-x)]



Fn=∫(0→∞)fn(x)dx

t=e^(-x)とおくと

fn(x)=[t-t^(-(n+1))]/(1-t)

dt/dx=-e^(-x)=-t

dx=-dt/t

Fn=∫(0→∞)fn(x)dx=∫(1→0)[t-t^(-(n+1))]/(1-t)](-dt/t)

=∫(0→1)[1-t^(-n))]/(1-t)]dt=∫(0→1)[1+t+t^2+....t^(n-1)]dt

=[t+t^2/2+t^3/3+......t^n/n](0→1)=1+1/2+1/3+.....1/n


(2)gn(x)=[e^(-x)-e^(-nx)]/x

Gn=∫(0→∞)gn(x)dx

設問に従ってxとyを独立として

I=∫(1→n)e^(-xy)dy

を計算する。

I=∫(1→n)e^(-xy)dy=[-e^(-xy)/x](1→n)=[e^(-x)-e^(-nx)]/x=gn(x)

従って

Gn=∫(0→∞)gn(x)dx=∫(0→∞)[∫(1→n)e^(-xy)dy]dx

積分の順序を入れ替えて

Gn=∫(0→∞)gn(x)dx=∫(1→n)[∫(0→∞)e^(-xy)dx]dy

=∫(1→n){[-e^(-xy)/y](0→∞)}dy

=∫(1→n)[(0-1)/y]dy=∫(1→n)[1/y]dy=[logy](1→n)=logn


(3)Fn-Gn=1+1/2+1/3+.....1/n-logn

n→∞の時、Fn-Gnは以下の値に収束することが知られており、オイラーの定数と呼ばれ、γで表されます。

γ=lim(n→∞)[1+1/2+1/3+.....1/n-logn]=0.5772156649.....

詳しくは「オイラーの定数」え検索するか、urlを参考にしてください。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/cakravala/gamma.pdf
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。おかげでよく分かりました。

お礼日時:2014/05/20 00:45

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