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(1)fn(x)=[e^(-x)-e^(-(n+1)x)]/[1-e^(-x)]
Fn=∫(0→∞)fn(x)dx
t=e^(-x)とおくと
fn(x)=[t-t^(-(n+1))]/(1-t)
dt/dx=-e^(-x)=-t
dx=-dt/t
Fn=∫(0→∞)fn(x)dx=∫(1→0)[t-t^(-(n+1))]/(1-t)](-dt/t)
=∫(0→1)[1-t^(-n))]/(1-t)]dt=∫(0→1)[1+t+t^2+....t^(n-1)]dt
=[t+t^2/2+t^3/3+......t^n/n](0→1)=1+1/2+1/3+.....1/n
(2)gn(x)=[e^(-x)-e^(-nx)]/x
Gn=∫(0→∞)gn(x)dx
設問に従ってxとyを独立として
I=∫(1→n)e^(-xy)dy
を計算する。
I=∫(1→n)e^(-xy)dy=[-e^(-xy)/x](1→n)=[e^(-x)-e^(-nx)]/x=gn(x)
従って
Gn=∫(0→∞)gn(x)dx=∫(0→∞)[∫(1→n)e^(-xy)dy]dx
積分の順序を入れ替えて
Gn=∫(0→∞)gn(x)dx=∫(1→n)[∫(0→∞)e^(-xy)dx]dy
=∫(1→n){[-e^(-xy)/y](0→∞)}dy
=∫(1→n)[(0-1)/y]dy=∫(1→n)[1/y]dy=[logy](1→n)=logn
(3)Fn-Gn=1+1/2+1/3+.....1/n-logn
n→∞の時、Fn-Gnは以下の値に収束することが知られており、オイラーの定数と呼ばれ、γで表されます。
γ=lim(n→∞)[1+1/2+1/3+.....1/n-logn]=0.5772156649.....
詳しくは「オイラーの定数」え検索するか、urlを参考にしてください。
参考URL:http://homepage2.nifty.com/cakravala/gamma.pdf
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