マクローリン展開について

tanxをx^4の項までマクローリン展開してください

考え方も教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： etaoinshadaloo 回答日時： 2014/05/27 22:48

普通に、微分して、導関数を求めて、ということであれば、

先の回答者様の計算方法の通りです。

ただ、tanxのテイラー展開、マクローリン展開の「考え方」というのであれば、
その展開係数は、「ベルヌーイ数」を用いて、
表現されるものであることを述べておきます。

ベルヌーイ数を用いないのであれば、冪級数同士の積を利用して解くこともできます。
参考URL：「冪級数同士の積とテイラー展開」
http://shadowacademy.web.fc2.com/taylor2.html

ベルヌーイ数を用いたtanxのテイラー展開の表現方法はこちら。
参考URL：「ベルヌーイ数の応用―テイラー展開―」
http://shadowacademy.web.fc2.com/bernoullitaylor …

ベルヌーイ数自体について、知りたい場合はこちら。
参考URL：「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」
http://shadowacademy.web.fc2.com/bernoulli.html



フリーの数式処理ソフトMaximaを用いれば、さらに高速で解くこともできます。
コマンドを以下に列挙しておきます。

テイラー展開：
func : taylor(tan(x),x,0,4);

f(0), f'(0), f"(0), …の展開係数部分：
coeff(func, x, 0)*0!;
coeff(func, x, 1)*1!;
coeff(func, x, 2)*2!;
coeff(func, x, 3)*3!;
coeff(func, x, 4)*4!;

「func」の部分は自由に変更して構いませんが、両者は対応している必要があります。
結果に関しては、ご自身で確認されることをオススメ致します。
ちなみに、ベルヌーイ数のコマンドは、bern(n);です。nには数字を入れて下さい。

No.1 回答者： info222_ 回答日時： 2014/05/25 18:24

4階導関数まで計算してマクローリン展開の公式に代入するだけの問題じゃないですか？

tan(x)の導関数（微分）が計算できないですか？
そうならマクローリン展開以前の問題なので
高校数学の三角関数の微分のところまで戻って復習して下さい。

f(x)=tan(x), f(0)=0
f'(x)=sec^2(x)=1+tan^2(x),f'(0)=1
f''(x)=2tan(x)*sev^2(x)=2tan(x)+2tan^3(x), f''(0)=0
f'''(x)=2sec^2(x)+6tan^2(x)*sec^2(x)
=2+8tan^2(x)+6tan^4(x), f'''(0)=2
f''''(x)= …, f''''(0)=0　←　これくらいは自力で求めてください。

マクローリン展開の公式に代入
f(x)=x+x^3/3+ …...