3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが
 
D{ (x,y,z) | 楕円体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c>0) }

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

A 回答 (2件)

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが


球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。 ←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.?

つまり、
積分変数を独立した(直交する座標)変数(r, θ, φ)に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分(累次積分)に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると 左辺=r^2となって 楕円体の領域の式が 「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (r, φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
 = { (r, φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
となります。(結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφ



zに間違いがあります。正しくは

x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθ

このような変換を行うのは

楕円体のx,y,z方向の径がa,b,cだからです。

この変換によって

I=∫∫∫(in v)f(x,y,z)dxdydz

=∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)drdθdφ

=abc∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)r^2sinθdrdθdφ

となり、領域vの対称性がよい場合は積分が簡単になる利点があります。
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この回答へのお礼

なるほど、簡単にするためということですね
分かりました、ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

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Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q『楕円球体の三重積分を極座標変換を用いて解く』がわかりません。

楕円球体の三重積分が ∫∫∫dxdydz で

積分領域が K={(x,y,z)|(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)≦1}

と、与えられています。

この問題を極座標変換を使って解けと教科書に書いてあるのですが、
x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(sinθ)
というように、変数(r,θ,φ)に変換したときの積分領域K’がわかりません。

θやφについては
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
になるだろうとなんとなく予想できるのですが、
rに関してはどのような範囲になるか全くわかりません。

どなたか説明も入れてよろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず極座標のzの式が違います。
x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(cosθ)
変数変換は
x=ra(sinθ)(cosφ)
y=rb(sinθ)(sinφ)
z=rc(cosθ)
とおくと
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
 0≦r≦1
となります。
ヤコビアン|J|=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)=abc(r^2)sinθ
V=abc∫[0→2π]dφ∫[0→π]sinθdθ∫[0→1]r^2dr
=2πabc*{cos(0)-cos(π)}*{(1^3)/3}
=2πabc*2*(1/3)=4πabc/3

Q【三重積分】球の体積の求め方

x=rsinθcosω
y=rsinθsinω
z=rcosθ

上記の変数変換を使った三重積分で球の体積を求める時、θの範囲が0≦θ≦πとなるのはなぜでしょうか?(ωの範囲は0≦ω≦2πとなるのに、なぜθは0≦θ≦2πにはならないのでしょうか。)

Aベストアンサー

参考URLの例5の図を見てください。球座標の図があると思います。ω=φと置き換えてください。点PをP(x、y、z)とします。球の体積を考えるのでrは一定です。

θはz軸の正の方向とベクトルOPのなす角です。例えばP(0,0、r)のときはθ=0、P(0,0、-r)のときはθ=πです。0≦ω≦2π、0≦θ≦π、rは一定とすればxyz空間に半径rの球が描けることが分かるかと思います。

参考URL:http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

Qヤコビアンの定義について

今解いている二重積分の問題があるのですが、積分領域が楕円の内部になっています。普通にxとyで積分領域を決めようとするとめちゃくちゃめんどくさくなります。そこでヤコビアンの定義を使ったら楽に解けるんではないかと思っているのですが、使えるんでしょうか?楕円のパラメータは
x=acosθ
y=bsinθ
で、aとbで違ってくるので使えないでしょうか?
教えてください!

Aベストアンサー

楕円の場合は、単純に極座標にしないで、
x=a*r*cosθ
y=b*r*sinθ
と置くとよいと思います。rとθが変数です。
ヤコビアンは、
|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
 =acosθ*brcosθ+arsinθ*bsinθ
 =abr
です。

Q楕円体の体積は?

長軸をa、短軸をbとしたときの楕円体の体積を教えてください。
正確に求めるのは困難だとおもうので、
良い近似値(ここでは正確性より単純性)があれば教えてください。
2b>a>bの範囲です。

また、下記のURLの回答が納得できないので、
それについても御教授ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体:楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 +(y/b)^2=1,z=0              (1)

で示される楕円をx軸まわり回転させたとき(^2は2乗を示す)その体積をVとすると

V=2π∫y^2dx = 2π{(b/a)^2}∫ (a^2-x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。(積分区間は0≦x≦a)
y軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

(1)で示される楕円をx軸まわり回転させたときできる図形の方程式は

(x/a)^2 +(y/b)^2+(z/b)^2=1           (2)

となりこれは半径1の球を,x軸方向にa倍,y軸及びz軸方向にb倍したものと考えられ,容易に体積が求まります。先にnanashisan氏が示しているのがこの方法だと思います。

体積=(半径1の球の体積)×a×b×b=(4/3)πa(b^2)

更に次式で表される一般の楕円体

(x/a)^2 +(y/b)^2+(z/c)^2=1            (3)

に対しても同様にして
体積=(半径1の球の体積)×a×b×c=(4/3)πabc となります。

ちなみに(1)で表される楕円の面積については,半径1の円をx軸方向にa倍,
y軸方向にb倍したものと考えれば
面積=(半径1の円の面積)×a×b=abπ となります。旧課程の高校数学の「代数・幾何」では1次変換とからめてよくこのての問題が扱われていました。

参考になれば幸いです。

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体:楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 +(y/b)^2=1,z=0              (1)

で示される楕円をx軸まわり回転させたとき(^2は2乗を示す)その体積をVとすると

V=2π∫y^2dx = 2π{(b/a)^2}∫ (a^2-x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。(積分区間は0≦x≦a)
y軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

(1)で示される...続きを読む

Q楕円の体積の求め方、教えてください!

タイトルどおりなのですが、楕円の体積の公式を知っていらっしゃる方、教えていただけないでしょうか。。。むかしにやった覚えだけはあるのですが、はっきりとおもいだせないのです。
ちなみに、楕円の縦の長さと横の長さがわかっています。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

数学や科学については、公式を丸暗記するだけではなく、その性質を理解するように努めれば、たとえ公式を忘れたとしても他の問題から導くことが多いことを頭にいれておいてくださいね。

楕円は、正円を1方向につぶしただけの図形ですから、円の面積を単純にその扁平分だけ減少(または増加)させればいいだけです。#1の人に倣って、
 長半径=a(こちらを元の円の半径とします)
 短半径=b
とすれば、
 楕円の面積=円の面積×b/a
      =πa^2×b/a
      =πa×b
ですね。

同様に、楕円の回転体も球を変形させただけですから、
 楕円の体積=球の体積×b/a
      =4/3×πa^3 ×b/a
      =4/3×πa^2×b
でよいでしょう。

球の体積を忘れたら、底面の半径と高さが球の半径と同じ円錐を用意して、半球と(逆さまに見た)円錐の断面積の和が常に底面の面積と同じという性質を利用すれば、簡単に導けます。(円錐の底面に平行に断面を取りましょう。)

以上。

Q楕円体の慣性モーメントの式

大学の授業で今、慣性モーメントを習っているのですが、少し疑問に思ったので教えてください。半径の長さx, y, zの楕円体の慣性モーメントはなぜIxx = (2/5)yzM Iyy = (2/5)zxM Izz = (2/5)xyM
Ixy = Iyx = Ixz = Izx = Iyz = Izx = 0と表せるのでしょうか?
できればインテグラルを使った式の形で教えていただきたいです。お願します。

Aベストアンサー

楕円体x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の慣性モーメントは、
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/
にあるように、
Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy=(1/5)(c^2+a^2)M
Iz=(1/5)(a^2+b^2)M
なので、とりあえずこれを求める方法を書いておきます。
楕円体の密度をρ、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の体積領域をvとすると、
Ix=ρ∫[v](y^2+z^2)dxdydz
x=aX,y=bY,z=cZと変数変換すると、dxdydz=(abc)dXdYdZ、
X^2+Y^2+Z^2=1の体積領域をVとすると、
Ix=ρ∫[V](b^2Y^2+c^2Z^2)(abc)dXdYdZ
Vは球だから、
Z=rcosθ,Y=rsinθsinφ,X=rsinθcosφと変数変換すると、
dXdYdZ=(r^2*sinθ)drdθdφだから、
Ix=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ{b^2*r^2*(sinθ)^3*(sinφ)^2+c^2*r^2*(cosθ)^2}
=ρ(abc)(1/5)(4π/3)(b^2+c^2)

M=ρ∫[v]dxdydz=ρ∫[V](abc)dXdYdZ
=ρ(abc)∫[0→1]dr∫[0→π]dθ∫[0→2π]dφ(r^2sinθ)
=(ρabc/3)(2π)∫[0→π]sinθdθ
=(ρabc/3)(4π)

よって、Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy,Izも同様
Ixy=∫[v]xy dxdydz なら、対称性より積分値は0.
Iyz,Izxなども同様

楕円体x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の慣性モーメントは、
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/
にあるように、
Ix=(1/5)(b^2+c^2)M
Iy=(1/5)(c^2+a^2)M
Iz=(1/5)(a^2+b^2)M
なので、とりあえずこれを求める方法を書いておきます。
楕円体の密度をρ、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1の体積領域をvとすると、
Ix=ρ∫[v](y^2+z^2)dxdydz
x=aX,y=bY,z=cZと変数変換すると、dxdydz=(abc)dXdYdZ、
X^2+Y^2+Z^2=1の体積領域をVとすると、
Ix=ρ∫[V](b^2Y^2+c^2Z^2)(abc)dXdYdZ
Vは球だから、
Z=...続きを読む

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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