3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが
 
D{ (x,y,z) | 楕円体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c>0) }

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

A 回答 (2件)

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが


球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。 ←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.?

つまり、
積分変数を独立した(直交する座標)変数(r, θ, φ)に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分(累次積分)に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると 左辺=r^2となって 楕円体の領域の式が 「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (r, φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
 = { (r, φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
となります。(結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφ



zに間違いがあります。正しくは

x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθ

このような変換を行うのは

楕円体のx,y,z方向の径がa,b,cだからです。

この変換によって

I=∫∫∫(in v)f(x,y,z)dxdydz

=∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)drdθdφ

=abc∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)r^2sinθdrdθdφ

となり、領域vの対称性がよい場合は積分が簡単になる利点があります。
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この回答へのお礼

なるほど、簡単にするためということですね
分かりました、ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

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Q少し複雑な体積の換算方法

こんにちは.
今、ある生物(diatom)の体積を求めるため、色々な部位の長さを測り、それを換算式に代入して体積を求めようとしているのですが、なかなかいい本が見つかりません.積分による方法以外で、体積換算に関して記述した文献(書籍)を知っているという方がいましたら、是非教えてください.

Aベストアンサー

 これはもう、数学の問題じゃないですね~。生物学などの専門の方がご覧になるカテゴリーの方が確かな事がわかりそうですが、知っている範囲でお答えします。

 手間を掛けて構わないのなら、写真を厚紙に貼り、切り抜いて積み上げれば立体模型になるし、重さを測れば体積が分かります。
 写真をグラフ用紙に載せて輪郭の座標を読みとる。あるいは画像から輪郭の座標を読みとる。この手間を惜しまないのなら、Excelにでも座標を入力してやれば、折れ線グラフを使って3次元立体を表示できますし、Mathematicaなどの数式処理ソフトなら一層綺麗なグラフとして描けます。体積計算は造作もありませんね。

 使えそうなソフトと言うと…
 NIH image というフリーソフトがあります。元々、医学の組織学における顕微鏡写真の画像処理・細胞数の計数などを目的に開発されたものです。Mac用はフリー、Windows用は確か有償でしたっけ。
デジタイズした写真をこのソフトに入力し、フィルター処理を適宜組み合わせれば、二値化した画像(例えば、ケイソウの部分が白、背景が黒)が得られるでしょう。このような沢山の画像をsliceのstackとして一つのファイルにまとめ、slice間の間隔(pixel数)を与えてやると、3次元の画像として表示することができます。また、一枚づつについて白の部分の面積を測ってやれば、体積の計算ができますね。NIH imageはPascalのインタープリタを含んでおり、Pascalでプログラム(マクロ)を書くことができますから、一度手作業で処理方法を見つければ、後は自動処理させることもできます。NIH imageは日本語の解説書もあるし、ソースプログラムを公開してもいます。
 さらに高度なフリーソフトは、秋田脳研の"mc"です。(まだ手に入るかなあ?)本来医用画像(CTなど)を扱うためのソフトですが、マニアックなほど高機能でなかなか使いこなせないのが難点、という凄いもの。こいつもMac用ですね。

 さて何より問題になるのは、如何にして深さ方向を「既知の一定間隔」でサンプリングした写真を撮るか、です。顕微鏡のステージを少しずつ、正確に動かす手段があれば良いのですが、そうは行かない場合、何かゲージの役割をする物を一緒の視野に入れて、その像から深さを測る必要があるでしょう。たとえばガラス管を微小電極にする要領で細く伸ばしたものなどを45度の角度で視野に入れてやれば、像の中心の位置から深さが分かります。

 これはもう、数学の問題じゃないですね~。生物学などの専門の方がご覧になるカテゴリーの方が確かな事がわかりそうですが、知っている範囲でお答えします。

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Q『楕円球体の三重積分を極座標変換を用いて解く』がわかりません。

楕円球体の三重積分が ∫∫∫dxdydz で

積分領域が K={(x,y,z)|(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)≦1}

と、与えられています。

この問題を極座標変換を使って解けと教科書に書いてあるのですが、
x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(sinθ)
というように、変数(r,θ,φ)に変換したときの積分領域K’がわかりません。

θやφについては
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
になるだろうとなんとなく予想できるのですが、
rに関してはどのような範囲になるか全くわかりません。

どなたか説明も入れてよろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず極座標のzの式が違います。
x=r(sinθ)(cosφ)
y=r(sinθ)(sinφ)
z=r(cosθ)
変数変換は
x=ra(sinθ)(cosφ)
y=rb(sinθ)(sinφ)
z=rc(cosθ)
とおくと
 0≦θ≦π
 0≦φ≦2π
 0≦r≦1
となります。
ヤコビアン|J|=∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)=abc(r^2)sinθ
V=abc∫[0→2π]dφ∫[0→π]sinθdθ∫[0→1]r^2dr
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Q体積流量から質量流量へ単位換算

例えば、1時間に60リットル流れるメタンの体積流量は1.0[l/min]
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Q重分積分の極座標変換について

どうして∬dxdy=∬drdθかけるrなのでしょうか
なぜrをかけるのかわかりません どうやら行列をつかったりする必要があるらしいのですがちょっとわかりずらいです  わかりやすく教えてもらえないでしょうか?

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■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
x=rcosθ,y=rsinθ
から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
(∂x/∂r,∂x/∂θ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

■で考えるか、●で考えるかは自由です。

直感的には面積素で考える■の方が覚えやすいかと思います。
XY座標から極座標への変換ではなく、もっと複雑な重積分(二変数、三変数の多重積分など)の変数変換では、ヤコビアンを使った方が間違いないでしょう。

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使...続きを読む

Q水に換算して計算するわけ

「プルトニウム239の場合、比重が19.8、臨界量が12.5Kgで、水に換算すると体積は650ccで、およそ直径10cmの球になります。

ソフトボールの3号のボールが外周30.48cmで直径が凡そ10cmなのでその通りかと」
という回答をもらいました。どうしてプルトニウムを水に換算するのかがわかりません!

Aベストアンサー

すいません

>プルトニウム239の場合、比重が19.8、臨界量が12.5Kgで、水に換算すると体積は650ccで、およそ直径10cmの球になります。

これを書いたものです、その後、入院していたりして昨日よりここに復帰しました。閉まってたので補足できませんでした。
「水に換算するとは」は筆が滑っています。別に換算せんでもかまいません。「水の19.8倍の比重なので」というのがどうも混線していたようです。

Q極座標変換の重積分、何を計算するのか分かりません。

大学院院試試験の過去問の問題の一つなのですが、問題の意味が分かりません。どなたか問題の解説をお願い致します
(多少問題の表現等は変えています)

f(x,y)=5 を半径aの円領域内で積分せよ。
ただし、dxdy = rdrdθである。

このような問題なのですが、f(x,y)=5 をどう使用すればよいのかが分かりません。式すら立てられない状況にほとほと困っております。
どなたかご教授のほど宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

半径a(>0)の円領域内をDとすれば
単に
∫_D 5ds=∫[0,2π]dθ∫[0,a]5rdr
を計算すれば良いだけでしょう。

Q体積から重量の計算方法

昨年よりネット通販の業務に就いたばかり、ズブの素人でわからない事ばかりですが、その中で商品を発送する際にある運送会社を使って商品を発送する際は、料金表が重量基準(kg)となっている為、重量がわからない場合は、その商品の体積(M3)より重量を計算する必要があるのですが、計算の仕方がよくわかならいので出入りしている運送業者にたずねたところ、業界的には、体積より重量を計算する場合は、体積(M3)x280=換算重量(kg)になると教えられました。(例:体積1m3の場合 1x1x1x280=280kg) しかしながら、この計算方法についての(特に280という値)の根拠を聞いたところ、その人も昔からこれで教わったので根拠についてはよくわからないとの事です。 今、会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが自分自身この計算方法の根拠が正しいのかよくわかりません。 どなたかこの計算方法が果たして正しいのか? その場合の根拠(280とう値等)、正しくない場合は、どの様に体積から重量へ換算すればよいのかアドバイス頂けますでしょうか? (色んなサイトを見ると水で考えると1m3=1t等の算数的説明がありますが出来れば実務的な方法でご教授頂ければ幸いです。)

昨年よりネット通販の業務に就いたばかり、ズブの素人でわからない事ばかりですが、その中で商品を発送する際にある運送会社を使って商品を発送する際は、料金表が重量基準(kg)となっている為、重量がわからない場合は、その商品の体積(M3)より重量を計算する必要があるのですが、計算の仕方がよくわかならいので出入りしている運送業者にたずねたところ、業界的には、体積より重量を計算する場合は、体積(M3)x280=換算重量(kg)になると教えられました。(例:体積1m3の場合 1x1x1x...続きを読む

Aベストアンサー

クロネコヤマトの「容積換算重量」にその「280」という数字を使います。
http://www.kuronekoyamato.co.jp/yamatobin/yamatobin.html

>お荷物1つあたりの「重量」は、実重量を測った上で容積換算(下記参照)を行い、
>「容積換算重量」と比較して重い方が「重量」となります。

>【容積換算式】
>縦(メートル)×横(メートル)×高さ(メートル)×280=容積換算重量(kg)

容積と重量の関係は、梱包の仕方によっても違ってくるので一定ではないはずなので
No.1さんが言われるように経験則から決定したものと思われます。

>会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが

クロネコのように説明ページにも載ってるのでこれを示せばよろしいのでは。

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

Q混合溶液の体積について

(問)0.5mol/lの希塩酸120mlと0.80mol/lの希塩酸80mlを混合した。この混合溶液のモル濃度を求めよ。
ただし、混合による体積変化はないものとする。

塩化水素の溶質の物質量の和は0.124mol
混合溶液の全体積は120+80=200ml
だからモル濃度は混合溶液1lあたりに溶けている溶質の
物質量に換算する。
0.124×1000/200=0.62[mol/l]

と解説にあったのですが、
「混合による体積変化はないものとする。」
とあるのに、
混合溶液の全体積は120+80=200ml
となっているのはどうしてですか?

Aベストアンサー

 既に回答は出てるようですが,少し落ち着いて考えてみませんか。

 混合前の溶液の合計体積はいくらでしょうか? そう,0.5 mol/l の希塩酸が 120 ml と 0.80 mol/l の希塩酸が 80 ml あった訳ですから,全部で 120+80=200 [ml] ですね。

 混合したから,120 ml が 200 ml に増えたわけでも,80 ml が 200 ml に増えたわけでもありません。最初から 200 ml でした。

> ただし、混合による体積変化はないものとする。

 この断り書きは,「混合溶液の全体積は,混合前の合計体積と同じ(200 ml)」と言う意味です。

Q重積分の変数変換問題

重積分について勉強していたら
∬x^2dxdy D:{(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}を
適当な変数変換を用いて解け
…という問題でつまってしまいました。
僕はx/a=u,y/b=vと変数変換して
与式=∬a^3bu^2dudv E:{(u,v)|u^2+v^2≦1}
として重積分して
  =∫[v:-1→1]dv∫[u:-√1-v^2→:√1-v^2]a^3bu^2du
=a^3b∫[v:-1→1][u^3/3][u:-√1-v^2→:√1-v^2]dv
=2a^3b/3∫[v:-1→1](1-v^2)^3/2dv
と求めましたが、これ以降が行き詰ってしましました。

これ以降の計算方法がわかる方、またはまったく異なる計算方法をご存知の方は教えてください!

Aベストアンサー

要するに ( 1 - v^2 ) ^ (3/2) の積分で詰まってしまったということでよいでしょうか。
一般に ( 1 - v^2 ) の形が出てくれば v = sin t の置換が有効です。
この場合
( 1 - v^2 ) ^ (3/2) dv = cos^3 t × cos t dt = cos^4 t dt

cos^2 t = ( 1 + cos 2t )ですので、
cos^4 t = 1 + 2 cos 2t + cos^2 2t
となり、もう一回半角の公式を使えば積分できます。

三角関数の積分は、cos x dx = d(sin x)を使うもの、
今回のように半角の公式を駆使するもの、
さらにtan (x/2) = t とおいて有理関数の積分に持ち込むもの等、
様々な手法があります
これを期に復習なさることを勧めます。


個人的には、この問題を見た時に思ったのは、
Dは楕円の内部ですよね。
そうすると、(x,y) = ( ar cos t, br sin t )で置換するのが一番楽ではないかと思います。

要するに ( 1 - v^2 ) ^ (3/2) の積分で詰まってしまったということでよいでしょうか。
一般に ( 1 - v^2 ) の形が出てくれば v = sin t の置換が有効です。
この場合
( 1 - v^2 ) ^ (3/2) dv = cos^3 t × cos t dt = cos^4 t dt

cos^2 t = ( 1 + cos 2t )ですので、
cos^4 t = 1 + 2 cos 2t + cos^2 2t
となり、もう一回半角の公式を使えば積分できます。

三角関数の積分は、cos x dx = d(sin x)を使うもの、
今回のように半角の公式を駆使するもの、
さらにtan (x/2) = t とおいて有理関数の積分に...続きを読む


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