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3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが
 
D{ (x,y,z) | 楕円体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c>0) }

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

A 回答 (2件)

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφ



zに間違いがあります。正しくは

x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθ

このような変換を行うのは

楕円体のx,y,z方向の径がa,b,cだからです。

この変換によって

I=∫∫∫(in v)f(x,y,z)dxdydz

=∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)drdθdφ

=abc∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)r^2sinθdrdθdφ

となり、領域vの対称性がよい場合は積分が簡単になる利点があります。
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この回答へのお礼

なるほど、簡単にするためということですね
分かりました、ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが


球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。 ←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換 x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.?

つまり、
積分変数を独立した(直交する座標)変数(r, θ, φ)に変換して、変換後の3重積分を独立した直交座標変数による逐次積分(累次積分)に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると 左辺=r^2となって 楕円体の領域の式が 「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (r, φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
 = { (r, φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ<π, 0≦θ≦π }
となります。(結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました!

お礼日時:2014/05/31 13:25

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