1+(√5)
1:――――――
     2
この黄金比はピラミッドやギリシア文化に使われています。
その証明方法について教えてください。
なぜ、美しく見えるのか?
詳しくお願いします

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A 回答 (4件)

φ=(√5+1)/2, 1/φ=(√5-1)/2


黄金比φを持つ長方形をひとつ見せられたところで、特別綺麗に見えるという訳じゃあない。しかし、幾何学的デザインに向いた面白い性質があります。

 一例として、沢山の(全て辺が平行か垂直な)正方形を使って渦巻きを作ってみましょう。(これは「再帰的」ということを活かした簡単な自己相似図形です。)
 1辺1の正方形(でかいやつが良いです)を描いてください。その頂点を時計回りでABCDとします。
 次に、辺ABに外接する一辺(1/φ)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C'がAと一致していて、もう一つの頂点B'がAB上にあるようにします。そしてもとのでかい正方形の外側にあるんですよ。この小さい正方形にも頂点に時計回りにA'B'C'D'と名前を振りましょう。B',C'が決まっているから、一意的に名前が付きますね。
 今度は正方形A'B'C'D'に対して、辺A'B'に外接する一辺(1/φ^2)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C''がA'と一致していて、もう一つの頂点B''がA'B'上にあるようにします。これにも頂点に時計回りにA''B''C''D''と名前を振りましょう。
 同じようにして、4個目の正方形を作ります。すると4個目(一辺(1/φ^3))の頂点D'''は、最初の正方形(一辺1)の頂点Bとぴたり一致し、A'''は辺AB上に来ます。そして、真ん中にA''',B'''B'',B'で囲まれた長方形がのこります。さらに小さい正方形を作り続けていくと、この長方形の中をぐるぐる回りながら、どんどん埋めていきます。
 今度は逆に、最初の正方形ABCDの隣に一辺φの正方形を描きましょう。辺BCに接するようにして、Cに頂点が来るようにします。これも同じように続けていくことができ、ぐるぐる周りでどんどん拡大していく渦巻きができあがります。

 それぞれの正方形の中に、その頂点B(B',B'',....)を中心とし、その正方形の一辺を半径とする1/4円弧を描いてみると素敵な図柄になります。hero1000さんご紹介のHPに書いてある「巻き貝」を彷彿とさせますね。
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黄金比は、ある数学的性質を持った比のことですから、黄金比そのものを証明


することはできません。
「なぜ美しく見えるのか」についても誰も証明できないと思います。

では、黄金比とはどんな数学的性質を持ったものなのか?についてですが、
これは参考URLをご覧になっていただいた方が早いでしょう。

自然界にも黄金比がたくさん見られるとのことで大変興味深いですよね。

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
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黄金比は *再帰的な* 比率です。



 ←──A──→
├───┼──┤
 ←B─→←C→

としたときに、A:B=B:C になるような比が黄金比です。
その式から B×B=A×C が導けます。
A=B+C ですから、B×B=(B+C)×C です。ここで、黄金比 r を
r=B÷C とおけば、B=C×r ですから、

(C×r)×(C×r)=(C×r+C)×C

となります。式を整理して、両辺を C×C で割ると、

r×r-r-1 = 0

となります。これに解の公式を当てはめると

  1±√5
r=────
   2

が得られます。長さの比率ですから、マイナスの方の解を無視すると
それが黄金比です。


「なぜ、美しく見えるのか?」の証明にはなっていませんが、
再帰的な連続性が美しく見える、ということにつながるのかも
しれませんね。
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線分AB上に点Pを取って,


(1)  AP:PB = PB:AB
になるようにするのが黄金分割で,比の AP:PB が黄金比です.
黄金比をxとしますと,(1)は
(2)  x:1 = 1:(1+x)
ですから,
(3)  x(1+x) = 1  ⇒  x^2 + x - 1 = 0
で,この2次方程式の正の解が
(4)  x = (√5 - 1)/2
です.
shu84 さんの表現では
(5)  x = 2/(1 + √5)
ですが,見かけの違いだけで同じことですね.

昔からもっとも美しい分割法されていますが,なぜなんでしょうね?

余談ですが,
フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,... の一般項(初項は第0項)が
(6)  (1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式).

また,
(7)  x = 1/(1+x)
ですから,逐次代入してゆけば連分数展開が得られます.
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Q黄金比、白銀比以外の名前は?2:1は?

1:1.6180・・・は黄金比
1:1+√2は白銀比、大和比

と名前がありますよね?

他にはこういった名前の付いた比率ってないんでしょうか?
また、2:1には何か特別な名前、名称はないのでしょうか?
ちょっと気になったもので
知ってる方はよろしくお願いします

Aベストアンサー

黄金比 1 : (1+√5)/2 については、昔から、西洋の美の基準として有名ですが、
「白銀比」という言葉をよく目にするようになったのは、映画「ダビンチ・コード」
のプロモーションと関連して、黄金比に関する文章が多く書かれるようになった頃。
それ以降、西洋文化の黄金比と日本文化の白銀比という対比で、しばしば語られる
ようになりました。恐らく、「白銀比」自体が、この人↓の造語かと。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?W-ISBN=4396612729
日本の歴史的造形に √2 が多く潜んでいるのは、事実でしょうが。

因みに、白銀比は 1 : √2 らしいです。Wikipedia には、ナゼか 1 : 1+√2 とあり
ましたが… 毎度のことですかね。

2 : 1 の名称は、「倍」だと思います。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q黄金比長方形は美しいですか?

黄金比は古来、美しい比として知られています。
人間でも風景でも美しいものには黄金比が含まれているらしく、ミロのビーナスやら葛飾北斎の富士山の絵の中にもあったりするそうです。
これらはまあいいんです。

しかし、「黄金比の長方形は美しい」というのがどうも納得できません。
私は白銀比(1:√2)の長方形の方が好きです。黄金比はどうも細長すぎてしまりがありません。
皆さんはどうでしょうか。

Aベストアンサー

絵画に限って言えば、胸像画には白銀比が多いです。

TVの画面比率が当初3:4だったのもこれに由来しているそうです。35mm銀塩フィルムの1コマの比率も、約1:1.4ですね。

Q【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(

【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1))} ただしnは自然数とする。

≪自分の解答≫
lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n](k/√(k^2+1))
=lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n]{(k/n)/√((k/n)^2+1/n^2)}

というところまで
やってみたのですが…

どうしたらいいでのしょうか??

Aベストアンサー

No2さまの後段にある区分求積の考え方を使ってみました。


a_n=1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1) とおく。

f(x)=x/√(x^2+1)とおくと、f(x)は単調増加関数。
したがって、
∫[(n-1)~n]f(x)dx < n/√(n^2+1) < ∫[n~(n+1)]f(x)dx
上式を1~nまで足し合わせると、
∫[0~n]f(x)dx < a_n < ∫[1~(n+1)]f(x)dx

∫f(x)dx=√(x^2+1)+C なので、
∫[0~n]f(x)dx=√(n^2+1)-1
∫[1~(n+1)]f(x)dx=√((n+1)^2+1)-√2

以上から、
{√(n^2+1)-1}/n < a_n/n < (√((n^2+2n+2)-√2)/n

ゆえにn→∞では、a_n/n→1 

Q白銀比について

黄金比は1:1.618...と1:0.618...だと聞きました。
では、白銀比も1:1.414...と1:0.414ですか?

調べたのですが、わかりませんでした。。。
回答お願いします。。。

Aベストアンサー

そのようですね。

白銀比は

1+√2  (2.414)



√2   (1.414)

の2つがあるようです。

このうち、

2.414:1  は  1:0.414 ですね。

ですから ご質問の通りだと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD%E9%8A%80%E6%AF%94

Q1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1

1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1
∴ 1=-1

は明らかにおかしいですが具体的にはどこがおかしいのでしょうか?

色々調べてみたところ,

√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)

というところがおかしいみたいで,「√(ab)=√a√b」が成り立つのは,"a,b≧0"のときだけということまではわかりました.
なので上のような変形はできないとのことです.

では,a≧0,b<0のときはどうなのでしょうか?

つまり,a≧0を実数として,

√(-a)=√(-1)a=√(-1)√a=i√a

はなぜ大丈夫なのでしょうか?

上の議論だと,-1<0なので「√(ab)=√a√b」が適用できず,単純に

√(-1)a=√(-1)√a

としていいのだろうかと感じました.

それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか?

混乱してしまったので教えてください.

Aベストアンサー

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選び方と
√(-1) √(-1) = -1 を満たすような2個の
√(-1) の選び方に
共通のものが無いため、全体として 1 = √(-1) √(-1) = -1 を満たす

√(-1) の値の選び方の組が存在しないのに対して、
√(-a) = √(-1) √a のほうには、式が成立するような
√(-a) と √(-1) の値の選び方が存在するということです。
だから、ある意味「大丈夫」だとも言えます。

しかし、√(-a) = √(-1) √a が「成立する」と言うときに、
式が成立するような √(-a) と √(-1) の選択が在ることを言っているのか、
√(-a) と √(-1) の任意の選択に対して成立することを言っているのか、
その辺がハッキリしません。
前者の意味では大丈夫であり、後者の意味では大丈夫ではないのですが。

また、√a も伏兵です。a が非負実数なので、ウッカリしていると、
√a は a の平方根のうち正のほうで問題ないような気がしてしまいますが…
√(-a) = √(-1) √a は、両辺が虚数となる式なので、
√a の √ も、複素平方根関数を意味しているのかもしれません。

複素 √z の z に、たまたま正の実数値が代入されたときだけ
突如多価でなくなって、正のほうの値だけを表すというのも、
連続性や微分可能性の意味で問題ある解釈です。

探せば、まだまだ問題点が見つかりそうです。
要するに、多様な解釈を許してしまいそうな、記号法に説明力の足りない式を、
式だけ書きっぱなしにして注釈を添えなかったことに、問題があったのです。
数式は、数学文の一部に過ぎませんから、一般に、式だけで完結させようと
がんばらないで、意図が十分伝わるように、注釈を書き添えたほうがよいのです。

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選...続きを読む

Q黄金比

宇宙の進化によって自然に黄金比が出来上がる時
(銀河系や、或いは更にその大きな宇宙レベル)、
一体どういった法則・現象があれば
理論的に黄金比になりえるか、

参考になるページ等貼っていただければ幸いです。

「黄金比になる理由」が分かっていないならそれも併せてお願いします。

只、
「その図形から正方形を取って又同じ形になる」のが黄金比だけだということを考えると、何らかの必然があるのではないでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

黄金比はフィボナッチ数列からきています。
自然の造形がフィボナッチ数列になることはよくあります。フィボナッチ数列は黄金比に収束します。そのため神前の形が黄金比なることがよくあります。

Qx≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

こんにちは。


x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

という問題なのですが
2(√(x+1)-√x) < 1/√x < 2(√x-√(x-1))
という大小関係になると思います。
単に引き算してもなかなか2乗の形に持ってけません。
どうやって証明するのでしょうか?

Aベストアンサー

ヒントのみ
1/√xに着目して
分子の有理化をしてください。
そして、逆数の大小の比較(差をとって比較)してください。
大小関係が決まりますので、その逆数をとってもとの大小関係が決まります。
ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

Q黄金比

Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。
質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94

なるほど綺麗だなと実際に計算してみると
どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。

一応式の変形を掲げておきます。
x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして
x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。
xの部分に4-3/xを代入していくと連分数になります。

黄金比はx^2-x-1=0の解ですがx^2-nx-n=0(n=1、2、3・・・)ならば
nの値にしたがって黄金比のところの連分数の値が1、2、3と変わっていくのが分かります。

つまりnが2以上の黄金比でなくても綺麗な形の連分数になるということです。
しかし、nが2以上の解が図形の比率で意味を持つというのを聞いたことがありません。

ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。
それとも何か数学的に重要な意味があるのでしょうか?

Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。
質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94

なるほど綺麗だなと実際に計算してみると
どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。

一応式の変形を掲げておきます。
x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして
x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。
xの部分に4-3/xを代入して...続きを読む

Aベストアンサー

まあ、それはこじつけですね(笑)
連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。
(それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね)

本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。
ところが質問者は二次方程式を変形しています。
実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。
wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

黄金比や白銀比は連分数のn=1、2、3において次の数列の関係にあります。

An=A2+(1/An-1) A1=1、A2=k

ちょっと分かりにくいかもしれませんが、A2の値が1なら黄金比、2なら白銀比です。
A2の値が3だと赤銅比とかいう名前がついているようですが詳細は知りません。
このAnの極限値を求めると黄金比が導かれているというものです。

図形としての比に意義を見出すのならA2=1、2、3までではないでしょうか?
実際に計算してみると分かりますが、Anの値はどんどん大きくなっていくので比に適さなくなります。
まあ、自然界のあっと驚く何かが隠されているかもは否定しません。

まあ、それはこじつけですね(笑)
連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。
(それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね)

本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。
ところが質問者は二次方程式を変形しています。
実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。
wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

黄金比や白銀...続きを読む

Q√2-√3-√5+√7+√11-√13<0の証明

√2-√3-√5+√7+√11-√13<0
なのですが、これを計算機を使わないで証明するにはどうすればいいのでしょうか?

数値は適当なので、方針を教えていただきたいです。
根号が5つまでなら、同値変形で移項そして2乗を繰り返していくことによって、整数同士の大小に還元できます。
しかし、根号が6つだとどのように示していけばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

√13 - √11
= (13 - 11) / (√13 + √11)
> 2 / (2√13)
= 1 / √13
より、

√2 - √3 - √5 + √7 + √11 - √13
< √2 - √3 - √5 + √7 - (1 / √13)
= (√26 - √39 - √65 + √91 - 1) / √13
となって、

√26 - √39 - √65 + √91 - 1 の正負に帰着される。
あとは、御存知の方法で。


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