1+(√5)
1:――――――
     2
この黄金比はピラミッドやギリシア文化に使われています。
その証明方法について教えてください。
なぜ、美しく見えるのか?
詳しくお願いします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

φ=(√5+1)/2, 1/φ=(√5-1)/2


黄金比φを持つ長方形をひとつ見せられたところで、特別綺麗に見えるという訳じゃあない。しかし、幾何学的デザインに向いた面白い性質があります。

 一例として、沢山の(全て辺が平行か垂直な)正方形を使って渦巻きを作ってみましょう。(これは「再帰的」ということを活かした簡単な自己相似図形です。)
 1辺1の正方形(でかいやつが良いです)を描いてください。その頂点を時計回りでABCDとします。
 次に、辺ABに外接する一辺(1/φ)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C'がAと一致していて、もう一つの頂点B'がAB上にあるようにします。そしてもとのでかい正方形の外側にあるんですよ。この小さい正方形にも頂点に時計回りにA'B'C'D'と名前を振りましょう。B',C'が決まっているから、一意的に名前が付きますね。
 今度は正方形A'B'C'D'に対して、辺A'B'に外接する一辺(1/φ^2)の正方形を描きます。この小さい正方形は一つの頂点C''がA'と一致していて、もう一つの頂点B''がA'B'上にあるようにします。これにも頂点に時計回りにA''B''C''D''と名前を振りましょう。
 同じようにして、4個目の正方形を作ります。すると4個目(一辺(1/φ^3))の頂点D'''は、最初の正方形(一辺1)の頂点Bとぴたり一致し、A'''は辺AB上に来ます。そして、真ん中にA''',B'''B'',B'で囲まれた長方形がのこります。さらに小さい正方形を作り続けていくと、この長方形の中をぐるぐる回りながら、どんどん埋めていきます。
 今度は逆に、最初の正方形ABCDの隣に一辺φの正方形を描きましょう。辺BCに接するようにして、Cに頂点が来るようにします。これも同じように続けていくことができ、ぐるぐる周りでどんどん拡大していく渦巻きができあがります。

 それぞれの正方形の中に、その頂点B(B',B'',....)を中心とし、その正方形の一辺を半径とする1/4円弧を描いてみると素敵な図柄になります。hero1000さんご紹介のHPに書いてある「巻き貝」を彷彿とさせますね。
    • good
    • 0

黄金比は、ある数学的性質を持った比のことですから、黄金比そのものを証明


することはできません。
「なぜ美しく見えるのか」についても誰も証明できないと思います。

では、黄金比とはどんな数学的性質を持ったものなのか?についてですが、
これは参考URLをご覧になっていただいた方が早いでしょう。

自然界にも黄金比がたくさん見られるとのことで大変興味深いですよね。

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
    • good
    • 0

黄金比は *再帰的な* 比率です。



 ←──A──→
├───┼──┤
 ←B─→←C→

としたときに、A:B=B:C になるような比が黄金比です。
その式から B×B=A×C が導けます。
A=B+C ですから、B×B=(B+C)×C です。ここで、黄金比 r を
r=B÷C とおけば、B=C×r ですから、

(C×r)×(C×r)=(C×r+C)×C

となります。式を整理して、両辺を C×C で割ると、

r×r-r-1 = 0

となります。これに解の公式を当てはめると

  1±√5
r=────
   2

が得られます。長さの比率ですから、マイナスの方の解を無視すると
それが黄金比です。


「なぜ、美しく見えるのか?」の証明にはなっていませんが、
再帰的な連続性が美しく見える、ということにつながるのかも
しれませんね。
    • good
    • 0

線分AB上に点Pを取って,


(1)  AP:PB = PB:AB
になるようにするのが黄金分割で,比の AP:PB が黄金比です.
黄金比をxとしますと,(1)は
(2)  x:1 = 1:(1+x)
ですから,
(3)  x(1+x) = 1  ⇒  x^2 + x - 1 = 0
で,この2次方程式の正の解が
(4)  x = (√5 - 1)/2
です.
shu84 さんの表現では
(5)  x = 2/(1 + √5)
ですが,見かけの違いだけで同じことですね.

昔からもっとも美しい分割法されていますが,なぜなんでしょうね?

余談ですが,
フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,... の一般項(初項は第0項)が
(6)  (1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式).

また,
(7)  x = 1/(1+x)
ですから,逐次代入してゆけば連分数展開が得られます.
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qフェボナッチ数列と黄金比との関係

ある本に、フェボナッチ数列の隣り合う項の比をとっていくと(a_1/a_2, a_2/a_3,...のように)ある値に収束していき、その値が黄金比になると書いてありました。いきなりのつながりでびっくりしたんですが、フェボナッチ数列と黄金比の間にはつながりがあるんでしょうか?なぜ、収束値が黄金比になったんでしょうか??教えてください。

Aベストアンサー

siegmundさんとほとんど答えが重なってしまいましたので
省略した部分について証明しておきましょう。

b_1 = 1, b_n+1 = 1 + 1 / b_n より bn > 1 (n≧2) です。この時

    α = 1 + 1 / α,    …(iii)
    α > 1         …(iv)

を満たすαを考えます。実際、2次方程式(iii)の大きい方の解をαとすると
α = (1 + √5) / 2 で、(iv)を満たしています。

では、準備が整いましたのでやって行きましょう。

0 < | b_n+1 - α |
    = | 1 + 1 / b_n - α |
    = | 1 + 1 / b_n - (1 + 1 / α) |    (∵(iii)より)
    = | 1 / b_n - 1 / α |
    = | (b_n - α) / (b_n α) |
    < (1 / α) | b_n - α|    (∵b_n > 1 より)
    < (1 / α)^2 | b_n-1 - α |
    …
    < (1 / α)^n | b_1 - α |
    → 0 (n→∞)    (∵α > 1より)

ゆえに、lim{n→∞} b_n = α = (1 + √5) / 2

siegmundさんとほとんど答えが重なってしまいましたので
省略した部分について証明しておきましょう。

b_1 = 1, b_n+1 = 1 + 1 / b_n より bn > 1 (n≧2) です。この時

    α = 1 + 1 / α,    …(iii)
    α > 1         …(iv)

を満たすαを考えます。実際、2次方程式(iii)の大きい方の解をαとすると
α = (1 + √5) / 2 で、(iv)を満たしています。

では、準備が整いましたのでやって行きましょう。

0 < | b_n+1 - α |
    = | 1 + 1 / b_n - α |
    = | 1 + 1 / ...続きを読む

Q数学のレポート

夏休みの宿題で課題は自由なレポートがあります。僕は黄金比についての研究しようと思っているのですが、本やパソコンを使って調べてみても中1の僕にはとても理解の出来ない内容ばかりです。どうかこの僕に黄金比とはどんな数なのか教えて下さい。また役に立ちそうなURLを貼り付けてもらえれば幸いです。

Aベストアンサー

中一だとちょっと理解困難なものが多いでしょうね。
平方根は中3の単元ですし、数列は高2の単元ですから。
といって数学のレポートにあまり美術方面にかたよった内容を出すのも気が引けるでしょうから、結論から言うと別のテーマを探した方が良いと思います。
#1さんがおっしゃっているようなテーマとか、あと、数学の歴史に関するテーマとか。(分数や小数の始まり、とか、外国での数の数え方とか。前者については、
http://www.rd.mmtr.or.jp/%7Ebunryu/mokuzi.shtml
後者については
http://www.sf.airnet.ne.jp/%7Ets/language/numberj.html
がすばらしい。ただし高校生~大人向けの解説だからまちがってもそのまま丸写しなどしないように)
それとこういうので調べた時はちゃんとどこのURLで、とかどの本で調べたかをレポートに書いておくこと。これは絶対に必要なエチケットです。
あと、参考になりそうなページをいくつか。
http://www.geocities.jp/nicht48/
http://www.wasan.jp/
http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/
http://www002.tokai.or.jp/hiramatu/onyak/kotob-kz.htm
http://suu.cc/
http://www.moroo.com/uzokusou/misc/suumei/suumei.html
http://www.rumic.gr.jp/%'Earai/dice/index.html
http://homepage3.nifty.com/onosoroban/index.htm

中一だとちょっと理解困難なものが多いでしょうね。
平方根は中3の単元ですし、数列は高2の単元ですから。
といって数学のレポートにあまり美術方面にかたよった内容を出すのも気が引けるでしょうから、結論から言うと別のテーマを探した方が良いと思います。
#1さんがおっしゃっているようなテーマとか、あと、数学の歴史に関するテーマとか。(分数や小数の始まり、とか、外国での数の数え方とか。前者については、
http://www.rd.mmtr.or.jp/%7Ebunryu/mokuzi.shtml
後者については
http://www.sf.airnet...続きを読む

Q5:8の黄金比の計算方法

5:8の黄金比の計算方法を教えてもらえないでしょうか?

例えば横100mmの場合縦の長さは?

わかり易くお願いします。

Aベストアンサー

5:8というのは黄金比の近似値です。
No.1の方の
>a:b=b:(a+b)
の式を解くと、a = (1+√5)÷2 * b となります。

よって、黄金比 a:b の正確な値は、
 1 : 1.61803・・・
または
 0.61803・・・ : 1
です。

縦の長さは約161.8mm、もしくは約61.8mmです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94


人気Q&Aランキング

おすすめ情報