同じものを含む順列

0を2回,1を2回,2を1回使い5桁の整数を作る問題です。
(1) 全部で何個できるか
(2) 奇数は何個できるか
(3) 10の倍数はいくつできるか
(4) 4の倍数はいくつできるか
という内容です。
どなたか回答お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/06/05 11:36

５枚のカードに ０、０、１、１、２ と書いて、並べるのが何通りあるかと同じです

（１）５桁の整数と言ってるので、先頭が ０ ではいけません
　１枚目は １、１，２ の３通り
　２枚目は 残りの４通り
　３枚目は 残りの３通り
　４枚目は 残りの ２通り
　５枚目は １枚しか残ってないので１通りあり

　３×４×３×２×１ 通りです

　でも、これだと ２枚ある ０、２枚ある ２ を別々に数えており、
　実際より ２×２ 倍 多く数えてるので、２×２ で割ると

　１８通りです　←　答え

（２）　奇数となるのは、５枚目が１の時だけです

　５枚目は　２通り
　１枚目は ０以外、残りの１ か ２ の２通り
　残りはなんでもよく、３×２×１通りあり、

　２×２×３×２×１

　でも、これも 実際より ２×２倍 多く数えているので、２×２で割り

　６通り　←　答え

（３）　１０の倍数というのは、５枚目が ０の時です

　５枚目は　２通り
　１枚目は　１、１、２ のいずれかで ３通り
　残りはなんでもよく、３×２×１通りあり、

　２×３×３×２×１

　これも ２×２ で割り、

　９通り　←　答え

（４） 100 は 4 で割り切れるので、最後の２桁が 4 で割り切れれば OK
　最後の２桁が ４で割り切れるのは、１２、２０ の 場合だけ
　最後が １２ となるのは
　　４枚目は ２枚ある １のどちらか
　　５枚目は １枚しかない ２ の１通り
　　１枚目は 残りの１となり、
　　残りは ２枚の ０ どの順でもよく
　
　　２×１×１×２×１　通り
　　２×２ で割り、１通り

　最後が ２０ となるのは
　　４枚目は１枚しかない ２の１通り
　　５枚目は ２枚ある ０ のどちらか
　　３枚目は ２枚ある １ のどちらか
　　残りはなんでもよく

　　１×２×２×２×１ 通り
　　２×２ で割り、２通り

　以上を合計して １＋ ２ ＝ ３通り　←　答え

【答え】
（１）　１８通り
（２）　　６通り
（３）　　９通り
（４）　　３通り

この回答へのお礼

なるほど。そうやって解くのですね。回答ありがとうございました

お礼日時：2014/06/07 13:08

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/06/05 15:49

(1) 全部で何個できるか

＞5桁目が2のときは0,0,1,1の並べ方だから4!/(2!*2!)=6個
5桁目が1のときは0,0,1,2の並べ方だから4!/2!=12個
計18個・・・答
(2) 奇数は何個できるか
＞5桁目が2のときは0,0,1の並べ方だから3!/2!=3個
5桁目が1のときは0,0,2の並べ方だから3!/2!=3個
計6個・・・答
(3) 10の倍数はいくつできるか
＞5桁目が2のときは0,1,1の並べ方だから3!/2!=3個
5桁目が1のときは0,1,2の並べ方だから3!=6個
計9個・・・答
(4) 4の倍数はいくつできるか
＞4の倍数は下2桁が00か12か20
5桁目が2のときは下2桁が00で1,1の並べ方だから1個
5桁目が1で下2桁が00のときは1,2の並べ方だから2個
5桁目が1で下2桁が12のときは0,0の並べ方だから1個
5桁目が1で下2桁が20のときは0.1の並べ方だから2個
計6個・・・答

この回答へのお礼

基本的な考え方がよくわかりました。
回答ありがとうございました

お礼日時：2014/06/07 13:11

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/06/05 11:56

No.1 ですけど、（４）が間違えてたので訂正します

（４） 100 は 4 で割り切れるので、最後の２桁が 4 で割り切れれば OK
　最後の２桁が ４で割り切れるのは、００，１２、２０ の 場合だけ

　最後が ００ となるのは
　　４枚目は ２枚ある ０のどちらか
　　５枚目は 残りの ９ の１通り
　　１枚目は １、１、２ の ３通り
　　残りは ２枚の ０ どの順でもよく
　
　　２×１×３×２×１　通り
　　２×２ で割り、３通り

　最後が １２ となるのは
　　４枚目は ２枚ある １のどちらか
　　５枚目は １枚しかない ２ の１通り
　　１枚目は 残りの１となり、
　　残りは ２枚の ０ どの順でもよく
　
　　２×１×１×２×１　通り
　　２×２ で割り、１通り

　最後が ２０ となるのは
　　４枚目は１枚しかない ２の１通り
　　５枚目は ２枚ある ０ のどちらか
　　３枚目は ２枚ある １ のどちらか
　　残りはなんでもよく

　　１×２×２×２×１ 通り
　　２×２ で割り、２通り

　以上を合計して ３＋１＋ ２ ＝ ６通り　←　答え

【答え】
（１）　１８通り
（２）　　６通り
（３）　　９通り
（４）　　６通り

この回答へのお礼

訂正まで書いてくれてありがとうございました

お礼日時：2014/06/07 13:10

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/06/05 11:52

全部で ５つだけですので、１つ１つ数えてもよいです

（１）
１００１２
１００２１
１０１０２
１０１２０
１０２０１

１０２１０
１１００２
１１０２０
１１２００
１２００１

１２０１０
１２１００
２００１１
２０１０１
２０１１０

２１００１
２１０１０
２１１００

（２）

１００２１
１０２０１
１２００１
２００１１
２０１０１
２１００１

（３）

１０１２０
１０２１０
１１０２０
１１２００
１２０１０

１２１００
２０１１０
２１０１０
２１１００


（４）

１００１２
１０１２０
１１０２０
１１２００　←　００　でも良かったのだ！
１２１００　←　００　でも良かったのだ！
２１１００　←　００　でも良かったのだ！

あっ！ 最後が　１２、２０　だけでなく、００ でも良かったのですね

正しい答えは 　３ではなく、６通りでした

この回答へのお礼

力技のやり方もあるんですね
回答ありがとうございました

お礼日時：2014/06/07 13:10

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/06/05 11:40

同じものを含む順列を数えるには、まず 違うものとして数え、

それを同じものの取り得る順列が何通りあるかで割るとよいです

今回は ０ が２回ですので ２×１
　　　１ が ２回ですので ２×１
　　　それをかけた ２×２ で割りましたが、

０が ３回なら ３×２×１
　　４回なら ４×３×２×１ で割るとよいです

この回答へのお礼

同じものを含む順列の考えたがよくわかりました。回答ありがとうございました

お礼日時：2014/06/07 13:09