分数の問題に詳しい方お願いします

福岡のラジオ番組「モーニングジャム」の2014年6月6日（金）放送分で
下記の問題が取り上げられていました。

考え方が全く解らなくて、答えを聞いてもモヤモヤしたままです。
どういう求め方をしたら、このような問題が簡単に解けるようになるのでしょうか？

算数・数学に詳しい方、簡単な解き方を教えて下さい。


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計算問題です。

１／２や１／３など分子が「１」の分数を「単位分数」と言います。

例えば、５／８を２つの単位分数の和で表すと、
１／２＋１／８となります。

では、５／７を３つの単位分数の和で表すとどうなるでしょう？


答え
１／２ ＋ １／７ ＋ １／１４

No.3 ベストアンサー 回答者： azmsyr 回答日時： 2014/06/06 14:36

まーるいケーキを考えましょう。

なんとか分の１が単位分数なんでしょ。

では7分の5、
まずケーキを7つに分けてみましょう。
今7つあるわけでよね。
このうち2つは食べちゃいましょう。

すると7つに分けて5つが残ります。
これが7分の5ですね。

ということは形から見ると
元のまーるいケーキの半分は絶対残ってるでしょ？
2分の1は確実に残ってますよね？
だから元のまーるいケーキの半分（ちょうど半月）をとります。
2分の1をとるわけです。

ちょっと待て！でもこのまままじゃ半分を取れませんよね。
半端なところで切れてますから。
だったら思い切って5つのうちちょうど元のケーキの半分になるところで
切っちゃいましょう。
すると7つに割った扇形のケーキの半分のところでナイフが入るでしょ。

そしてまーるいケーキの半分を取っちゃいます。はい２分の1とりました。
残っているのは7つに切ったときの一個と
7つに切った一個を半分にしたものとが残ります。

では7つに切った一個をとりましょう。7分の1をとります。
すると
残りは7つに切ったものをさらに半分にしたものになりますね。
これってまーるいケーキの14分の１の大きさでしょ？

だって7つに切った一個を半分にしてるんですから14分の１ですよね？
これを14個集めるともとのまーるいケーキに戻るでしょ。

全部足すと、2分の１　＋　7分の1　＋14分の１　ということになりませんか？

これを数字の世界だけで表すと
7分の5ということは半分以上あるから
7分の3.5はありますよね。これって2分の１のことですよね
だからまず2分の1
残り7分の1.5ですね。
てことは7分の1は確実にあるわけですから
7分の1をとっちゃいます。
残り
7分の0.5ですね。
これって14分の1のことでしょ。
だから
2分の1　＋　7分の1　＋　5分の1　というわけです。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
親指骨折してしまい、スマホ操作が難しいため、皆さんにお礼をつけたい所なのですがご容赦くださいm(_ _)m

皆さんの回答をじっくり見ながら、色々考え方があるのだなぁと感じました。

分数なんて随分使ってないので、分母の数がいきなり二桁になって、今まで解ってたことが急に難しいことのように思えていました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/06/09 17:23

No.9 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/07 04:47

ちなみに。

８／１１　の場合は

最初に引ける分母の小さい分数は　１／２
８／１１　－　１／２　＝　１６／２２　－　１１／２２　＝　５／２２
この後、分母２２のまま考えて
ここから最初に引ける分数は　２／２２　（１／１１）
という解法も他の方によって示されていました。
５／２２　－　１／１１　＝　３／２２
ここから先どうするかですね・・・

もう一度１／１１を引くと、合計で　２／１１　引いてしまう　という不都合が生じます。
３／２２　になって、「やった！　分子３に持ち込めた」　では手放しで喜べない例ですね。

３／２２　から最初に引ける分母の小さい分数は　１／８
つまり、１／１１　を一度引いておきながら、１／１１　より先に出てくるはずの　１／８　を後で引くことになります。
３／２２　－　１／８　＝　２４／１７６　－　２２／１７６　＝　２／１７６　＝　１／８８
一応すっきりして良かったです。
１１や２２や１７６で進めていたのに急に分母８８が出てくるからおもしろいですね。
８／１１　＝　１／２　＋　１／１１　＋　１／８　＋　１／８８
まあこれも、「分母を８８にすれば良いことを最初から知っている」　人にとっては、「簡単」な結論なんですが・・・　私にとっては簡単ではないですね。「（２はわかるとして）なぜ１１、８、８８が順に出てくるか」の方が重要です。マッチ棒パズルで最初からマッチの動かし方を知っていたらおもしろくないですよね？

No.8 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/07 04:20

＞　５／７－１／２＝３／14

＞　次に引けるのは２／14（１／７）…
＞　３／14－１／７＝１／14

分母14　（／14）で考えればそうなりますが、
単純に分母の小さいものから探していくなら
次に引けるのは　１／５　が先になるでしょう。

３／１４　＜　１／３
３／１４　＜　１／４
３／１４　＞　１／４

３／１４－１／５　＝　１５／７０　－　１４／７０　＝　１／７０

つまり、私の疑問は、
５／７　＝　１／２ ＋ １／７ ＋ １／１４
という答えを知っている人は、こうなることを示すこともできるが、
５／７　＝　１／２ ＋ １／５ ＋ １／７０
という別解（３つの和という条件を外せば他にも恐らく多数の別解あり）にたどり着く可能性だって示されてもおかしくない
ということです。

■
ラジオで
５／７　＝　１／２ ＋ １／５ ＋ １／７０
という別解を示していなかったとしたら、不思議ですね。

「どうして　５／７　＝　１／２ ＋ １／７ ＋ １／１４　になるでしょう」ではなくて、単に和を作る３つの単位分数を示せば良いのですよね？

■
（参考）３つの和という条件を外した場合の別解例
５／７　＝　１／２ ＋ １／５ ＋ １／７０
＝　１／３ ＋ １／６　＋ １／６ ＋ １／３０　＋ １／７１　＋ １／４９７０
＝　１／３ ＋ １／６　＋ １／７　＋　１／４２ ＋ １／３０　＋ １／７１　＋ １／４９７０

１／Ｙ　の別解は無限にありますよ。
強欲算法の応用
１／Ｙ　＝　１／（Ｙ＋１）　＋　１／（Ｙ（Ｙ＋１））
を使って置換できますから（高校の数列でも応用されます）。


■
５／７　の場合には　まず１／２を引く、という手順が一般的だと思います。
では
４／１３
８／１１
の場合は？

■
４／１３
最初に引ける分母の小さい分数は　１／４
４／１３　－　１／４　＝　１６／５２　－　１３／５２　＝　３／５２
ここ（３／５２）から最初に引ける分母の小さい分数は　・・・
この時点で、何分の１を引けば良いのか、探すのが難しくなります。

３／５２　＝　２／５２　＋　１／５２　＝　１／２６　＋　１／５２
というのはひじょうに簡単ですから、「答えの１つを見つける方法」としてはかなり有効ですね。分子に２が出てくるのが必然かどうか、興味深いです。
４／１３　＝　１／４　＋　１／２６　＋　１／５２

強欲算法で示した解答例は
４／１３　＝　１／４　＋　１／１８　＋　１／４６８
強欲算法の弱点は、
５２　*　１８　＝　９３６
のようにあっという間に分母が大きくなってしまうことがあることで、私も「ベストとは自信持って言えない」と自覚しております。

■
８／１１
最初に引ける分母の小さい分数は　１／２
８／１１　－　１／２　＝　１６／２２　－　１１／２２　＝　５／２２
ここから最初に引ける分母の小さい分数は　・・・
１／４　が引けるかと思いきや
５／２２　＜　１／４　ですね。
５／２２　＞　１／５　だから
５／２２　－　１／５　＝　２５／１１０　－　２２／１１０　＝　３／１１０

分子３が出てくるのは「ラッキー」ですね。また
３／１１０　＝　１／５５　＋　１／１１０
に持ち込めます。自力で　３／１１０　から　何分の１が引けるか　を順番に探すのはたいへんでしょう。

８／１１　＝　１／２　＋　１／５　＋　１／５５　＋　１／１１０
（３つ以下で示せるのか示せないのか、法則はわかりません。エジプト式分数のウィキペディアの下の方に、分数の数については興味深いことを書いていましたね。）

強欲算法で示した解答例は
８／１１　＝　１／２　＋　１／５　＋　１／３７　＋　１／４０７０
単純に分母の小さいものから探していくなら
１／５５　より　１／３７　が先になる、という点がおもしろいです。

■
まあ私が、
５／７　の場合以外にも使えるルール
を追い求めるのは、
ここが数学カテゴリーだから
です。単なるパズルではないですからね。
１／２ ＋ １／７ ＋ １／１４　＝　７／１４　＋ ２／１４　＋ １／１４　＝　１０／１４　＝　５／７
ということそのものは小学生も知っているので、
「なぜ分母７が急に出てくるのか」「なぜ分母５ではダメなのか」
を示す方が数学カテとしてはふさわしいかな、と考えました。

７分の１.５　という考え方が私も賛成です。私も　分数の大小　を考えるときに、こういう暗算をよくやります。教科書で見たのもヒモの他にケーキだったかも知れません。

ラジオでリスナーにうったえる問題としては、
４／１３
８／１１
より
５／７　ぐらいが手頃
だった、ということなんでしょうね。半日で解ける人もかなり増えますから。

ただ私的には、「また次に同じような分数パズルと出会った時にどう解けば良いか」　の方が気になります。
ラジオではもう、「答えは　１／２ ＋ １／７ ＋ １／１４」　と言ってしまって（別解について言及なし）、次回放送まで待っても理由、解答手順は解説されないということですか？

No.7 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/06 19:30

なるほど。

分子が１になるように分数を分けていく（分子が１でない方は分母分子２倍する）やり方。

全てこれで行けるかと思いました（一番スマートに見えた）。
でもどんな数でも全て行けるのか、たまたま５／７の場合に早期に約分できたのか　どうかがわかりません。

４／１３　の場合にどうなるのかやってみて行き詰まりました。
４／１３　＝　１／１３　＋　３／１３

３／１３　＝　６／２６　＝　１／２６　＋　５／２６

・・・１／２０８　までは続けました。あきらめました。
２倍する、の部分を、その数によって変えないといけないんでしょうかね。

ここで他の回答者さんに「教えてください」と言えないのが　もどかしいです。


特定の答えに向かっていくより、どんな分数の場合でもそれで解ける、という法則みたいなものが知りたいなあと個人的に思います。

他のやり方の場合で、
１／２　が引けるときは良いけど、引けないときは
１／３　が引けるか
１／４　が引けるか
１／５　が引けるか
順に考えていくとき。分数の大小判断が伴いますよね。
何か、「もっと楽な方法」はないかなあ、と今考え中です。

例えば　１＝１／２＋１／３＋１／６　もエジプト分数のページに載っていましたけど。
答えを知っている人にとっては、１／２　を引いて、１／３　を引いて、・・というアプローチは可能ですよ。でも知らない人にとっては、自分で気付くのは難しいですよね（まあ　１＝１／２＋１／３＋１／６　は極端だから自力で気付く中学生もいると思いますけど）。
１＝１／３＋１／５＋１／７＋１／９＋１／１１＋１／１５＋１／３５＋１／４５＋１／２３１
は、「どうしてこういう風に分けることを思い付いたか」を言わないと、私にはなかなか自力では難しいと思います（素数ばかりでもないし）。

もちろん納得した解法もたくさんありますよ。

ぜひ質問者さんには、次回の放送で示された答えもここに挙げてから締め切ってください、とお願いいたします（笑）

No.6 回答者： qwreasdf 回答日時： 2014/06/06 17:19

５／７は次のように表すことができます。

１／７ ＋ ４／７　　　…　(1)とします。

４／７は分子と分母を2倍して次のように表すことができます。

８／１４

８／１４は次のように表すことができます。

７／１４ ＋ １／１４

約分すると、次のようになります。

１／２ ＋ １／１４

つまり、４／７ ＝ １／２ ＋ １／１４　です。　　…　(2)とします。


(1)と(2)より、５／７は次のように表すことができるのです。

１／７ ＋ １／２ ＋ １／１４

No.5 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/06 16:38

＃４です。

ちょっと私の回答は長過ぎて読む気しないと思ったので、もう一度要点だけシンプルに言いますね！
ラジオ、ということですから、言葉的にわかりやすくないと意味ないですもんね、失礼しました。

「新しい分母」を一つずつ見つけていきます。
それは
Ｘ／Ｙ　（Ｙ分のＸ）を考えるときに、
わざと逆の　Ｙ割るＸ　を考えます（Ｙ／Ｘ）。

そして、ぴったり割り切れるならその数、
割り切れないときには　割り算の答えよりも一つ大きい整数
を「新しい分母」としていきます。

頭で考えるより問題でやっていきましょう！

５／７　が問題です。
７割る５　は　１　が入って余りが出ますよね。
割り切れないときには　割り算の答えよりも一つ大きい整数が「新しい分母」
でしたから、「新しい分母」は２です（１より大きい最初の整数）。

５／７　＝　１／２　＋　１４分のなんとか
この１４は、元の分母７　と　新しい分母２　のかけ算　です。
１４で通分しましょう。
１０／１４　＝　７／１４　＋　？　／１４
７＋？　が　１０　になるのですから、？は３ですね。


次に　３／１４　を考えます。
１４割る３　は　４　が入って余りが出ますよね。
割り切れないときには　割り算の答えよりも一つ大きい整数が「新しい分母」
でしたから、「新しい分母」は５です（４より大きい最初の整数）。

３／１４　＝　１／５　＋　７０分のなんとか
この７０は、元の分母１４　と　新しい分母５　のかけ算　です。
７０で通分しましょう。
１５／７０　＝　１４／７０　＋　？　／７０
１４＋？　が　１５　になるのですから、？は１ですね。

３／１４　＝　１５／７０　＝　１４／７０　＋　１／７０　＝　１／５　＋　１／７０

５／７　＝　１／２　＋　３／１４　＝　１／２　＋　１／５　＋　１／７０

見るだけならむずかしいですけど、手を動かしたら　「どんな問題でもこれで行ける！」　と思っていただけると信じております。

No.4 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/06 16:09

他の方のやり方でも解けますし、

数学は　答えは一つ　だけど　答え方は複数　というのが良いところでもあります。

私はこの問題を、たぶん中学の教科書か副教材の「コラム」欄で見たことがあると記憶しています。章と章の間のコーヒーブレイクみたいなあれですね。高校教材かも知れませんが、とにかく大きな本屋になって必死で探さないといけないような教材ではありませんでした。ネットではなく印刷物です。

そこでの解き方は、下記の
　　　強欲算法（ごうよく　ざんぽう）
をヒモも使ってわかりやすく示していたものだったと思います。図は再現できません。
------------------
エジプト式分数
エジプト分数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B8% …


強欲算法
（以上のいずれの方法の通用しない場合に対して、）フィボナッチは強欲算法(greedy algorithm) と呼ばれる方法を提案した。単位分数の和に展開しようとする分数に対して、それ以下の最大の単位分数を取る。それを引いた残りに対しても、繰り返し最大の単位分数を取る。式で書けば、分数
x / y
を
x / y = 1 / (【y / x】) + ( (-y) mod x) / (y *【y / x】)

と、次々に置き換える方法である。ここに、括弧【】は天井関数である。
------------------
mod は　余りを求める関数（エクセルなどでも出てきます）。
例：
7 mod 5 = 2　　（7割る5は商1、余り2）
10 mod 3 = 1　　（10割る3は商3、余り1）
(-7) mod 5 = 2　　（-7割る5は商-2、余り3という特殊計算）
(-10) mod 3 = 1　　（-10割る3は商-4、余り2という特殊計算）

*はかけるの記号（ｘだと見間違えるから）。
天井関数は説明しながらにしましょう。

■例題１
4/13

1.
x=4 y=13 である。
13/4 = 3.25
3.25以上の最小の整数は4

これを天井関数と呼びます。
つまり
【13 / 4】= 4
【14 / 4】= 4
【15 / 4】= 4
【16 / 4】= 4
【17 / 4】= 5
正の数では小数切り上げ
負の数では小数切り捨て　みたいなものです。

【13 / 4】=【3.25】=　4
これが「新しい分母」ということになります。

2.
(-13) mod 4 = 3

3.
1 / (【y / x】) = 1/4

4.
y *【y / x】= 13 * 4 = 52
式でこう書くと難しいですが、前の分母13と新しい分母4を通分して余りを表すということです。
(-y mod x) / (y *【y / x】) = ( (-13) mod 4) / 52 = 3/52
4/13 = 1/4 + 3/52

3/52の分子の3は、16-13で暗算して求められるでしょう？
( (-13) mod 4)　はあまり気にしなくても良いです。

5.
3/52はまだ単位分数ではないので、なるまで続けます。
x=3 y=52 と置き直す。
52/3 = 17.33
18が「新しい分母」
(-52) mod 3 = 2　（17*3=51、18*3=54、54-52=2）
(-y mod x) / (y *【y / x】) = 2 / (52 * 18) = 1/468

3/52 = 1/18 + 1/468

6.
4.と合わせて
4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468


さすがに　4/13　はいきなりでは難しかったかも知れませんが、
新しい分母を見つけていく方法を他でも演習しましょう。


■例題２
8/11

11/8　（分母分子逆）は　1　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　2　（余りがあるときは、商1の次に大きい整数）。
8/11 = 1/2 + ？？/ (11 * 2)
11と2を通分して、？？の部分は計算で求める（左辺も通分しなければならないが、その程度はガマン）。
8/11 = 1/2 + 5 / 22

5/22 は単位分数ではないので続ける。
22/5　は　4　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　5　。
5/22 = 1/5 + ？？/ (22 * 5)
25/110 = 22/110 + 3 / 110

3/110 は単位分数ではないので続ける。
110/3　は　36　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　37　。
3/110 = 1/37 + ？？/ (110 * 37)
111/4070 = 110/4070 + 1 / 4070

やっと　1/4070 が単位分数になりました。
8/11 = 1/2 + 1/5 + 1/37 + 1/4070
（確かめ算
2960/4070 = 2035/4070 + 814/4070 + 110/4070 + 1/4070　）

ただ、フィボナッチの式
　　　a / (ab - 1) = 1 / b + 1 / b (ab - 1)
もだいぶシンプルなので、理解できたらそちらもオススメします。
式は強欲算法と似ていますね。

フィボナッチの式では
8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66
ですが、4070とどっちが正しいかとかはないと思います。
フィボナッチでは22の後に6という、数字が大きくなったり小さくなったりするのだとしたら（私は検証していません）、ちょっと美しくはないですね。

エジプト式では
2/5 = 1/5 + 1/5
はダメで
2/5 = 1/3 + 1/15
と書くべきだそうです。
220円を　50円玉3枚と1円玉70枚ではだめだ、というのに似ていますね。

なんで答えが複数あるのか、については、
12 = 2 * 6
12 = 3 * 4
という複数の因数分解があることを考えれば、わかるでしょう。

■例題３（実践）
5/8

8/5　は　1　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　2　。
5/8 = 1/2 + ？？/ (8 * 2)
5/8 = 1/2 + 2 / 16

2/16 は単位分数ではないので続ける。
16/2　は　8　あまり無し。
ということは新しい分母は　8　。
2/16 = 1/8 + ？？/ (16 * 8)
いやいや待ってください。
2/16 = 1/8　じゃないですか。
5/8 = 1/2 + 1 / 8
（あまり無しの場合が特別なんでしょうね。）

■答え（実践）
5/7

7/5　は　1　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　2　。
5/7 = 1/2 + ？？/ (7 * 2)
10/14 = 7/14 + 3 / 14

3/14 は単位分数ではないので続ける。
14/3　は　4　あまりなんとか。
ということは新しい分母は　5　。
3/14 = 1/5 + ？？/ (14 * 5)
15/70 = 14/70 + 1/ 70

5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/ 70
（確かめ算
50/70 = 35/70 + 14/70 + 1/70　）

5/7 = 1/2 + 1/7 + 1/ 14
となる解法ではありませんでしたが、まあかんべんしてください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B8% …

No.2 回答者： 86tarou 回答日時： 2014/06/06 14:03

この考え方が正しいかどうかは分かりませんが… ＾＾；

単位分数で一番大きなものは１／２です。大きなものから引いて計算していくでしょうから、先ずはこれが引けるかどうかです。５／７は１／２より大きいですから…
５／７－１／２＝３／14
次に引けるのは２／14（１／７）…
３／14－１／７＝１／14

No.1 回答者： Deathscythe#1 回答日時： 2014/06/06 14:00

1/2にするには分母が偶数でなければなりません。

なので先ずは
5ｘ2/7ｘ2＝10/14

で14の半分である7を分子から引きます
10/14＝7/14+3/14＝1/2+3/14

さらに3/14は2/14+1/14に分けることが出来、かつ偶数/偶数なので2で割ることが出来ます。
1/2+3/14＝1/2+2/14+1/14＝1/2+1/7+1/14