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X(t)=
e^t
e^t
e^(-t)
で表される曲線の曲率κ(t)のグラフについて、次の(1)~(5)のうち正しいものを一つ選んでください。(1)lim[t→-∞]κ(t)=0かつlim[t→∞]κ(t)=0で-∞<t<∞のどこかで最大値を取る。
(2)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で-∞<t<∞のどこかで正の最小値を取る。
(3)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=0で単調減少である。
(4)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で単調増大である。
(5)lim[t→-∞]κ(t)=l1>0かつlim[t→∞]κ(t)=l2>0で正の有限の極限を持つ。

という問題で以下の2点がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
質問1まず曲率κの値が途中までしかわかりません。
質問2なぜ正解が(1)なのか具体的な理由をわかりやすく教えてください。
以上宜しくお願いします。

x'(t)=
e^t
e^t
-e^(-t)
||x'(t)||=√{e^2t+e^2t+e^(-2t)}=√{2e^(2t)+e^(-2t)}
e1(t)={1/||x'(t)||}・x'(t)より
   =1/√{2e^2t+e^(-2t)}×
e^t
e^t
-e^(-t)

e1(t)=
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}
-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}

e'1(t)=
[e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'
[e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'
[-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'

上の微分は積の微分や合成関数の微分法を使うと思うのですが、ここまでしかわかりません。ここまでの計算で間違いなどあればご指摘ください。
そして曲率κ(t)=||k(t)||でk(t)={1/x'(t)}・e'1(t)です。

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A 回答 (3件)

>回答No.2の続きです


質問2なぜ正解が(1)なのか具体的な理由をわかりやすく教えてください。
κ(t)=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{2e^2t+e^(-2t)}^2
=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{4e^4t+e^(-4t)+4}
=2√{2/e^(-6t)+4/e^(-10t)}/{4/e^(-8t)+1+4/e^(-4t)}
lim[t→-∞]e^(-6t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-10t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-8t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-4t)=e^∞=∞だから
lim[t→-∞]κ(t)=2√(2/∞+4/∞)/(4/∞+1+4/∞)
=2√(0+0)/(0+1+0)=0/1=0・・・・・(ア)
κ'(t)=[2(1/2)(1/√{2e^(-2t)+4e^2t}){-4e^(-2t)+8e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^2
-2√{2e^(-2t)+4e^2t}2{2e^2t+e^(-2t)}{4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^4
=[{-4e^(-2t)+8e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^2
-4{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}{4e^2t-2e^(-2t)}]/√{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^4
={-48e^4t+12e^(-4t)}/√{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^3
分母は常に正。
分子:-48e^4t+12e^(-4t)>0を解くと
12e^(-4t)>48e^4t、e^(-4t)>4e^4t、1>4e^8t、1/4>e^8t
e^8t>0だからlogを自然対数としてlog(1/4)>8t、log1-log4>8t
-2log2>8t、-(1/4)log2>tとなり、
κ(t)は-(1/4)log2>tで増加、-(1/4)log2<tで減少、-(1/4)log2=tで
極大となる。・・・・・(イ)
以上の(ア)と(イ)から(1)が正解となる。
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ここまでは正しい。


e1(t)=
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)},
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)},
-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}
>これはコピペミス。正しくは
e1(t)=
e^t/√{2e^2t+e^(-2t)},
e^t/√{2e^2t+e^(-2t)},
-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}
以下、計算を続けると
e1'(t)=
[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]',
[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]',
[-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}]'

[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]'
=[e^t√{2e^2t+e^(-2t)}-e^t(1/2){2e^2t+e^(-2t)}^(-1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}
=[e^t{2e^2t+e^(-2t)}-(1/2)e^t{4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
=2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
[-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}]'
=[e^(-t)√{2e^2t+e^(-2t)}+e^(-t)(1/2){2e^2t+e^(-2t)}^(-1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}
=[e^(-t){2e^2t+e^(-2t)}+e^(-t)(1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
=4e^t/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)

e1'(t)=
2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2),
2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2),
4e^t/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)

k(t)=e1'/|x'(t)|=
2e^(-t)/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2,
2e^(-t)/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2,
4e^t/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2

κ(t)=|k(t)|=[{4e^(-2t)+4e^(-2t)+16e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^4]^(1/2)
=√{8e^(-2t)+16e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2
=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2
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 直交座標系上の話ですね。

このとき X(t) の各成分をx(t), y(t), z(t)とすると、曲率κは
  κ = √((x'')^2+(y'')^2+(z'')^2)
であり、ただし '' はsによる2階微分。ここに、sってのは曲線に沿った長さ、すなわち
  ds/dt = √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)
である。これを使って、sによる2階微分を行うんです。tによる微分と混同しないように注意して計算すれば大丈夫。
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y=x^x
y=x^x^x
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 ・
 ・
 ・

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Aベストアンサー

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これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
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> 現在のグラフは、複合グラフであり、利用できるグラフの種類と一致しません

「標準のグラフ」に設定したのではないでしょうか?
このメッセージが出たとしてもグラフの種類で好きなグラフをクリックすれば選べると思いますが、、、、

標準のグラフをデフォルトにしたいなら下記で。
(Excel2000でのやり方なので他のバージョンだと多少違うかも)

1)一度、複合グラフを作ってから、グラフを選択して右クリック-「グラフの種類」
2)「ユーザー設定」タブで「選択元」を「ユーザー定義」
3)グラフの種類から「標準」を選択し下にある削除ボタンを押下

QF(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_n)t^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また,下記の表を作って,(a_n)/(a_(n+1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

n  (a_n)  (a_(n+1)/a_n)
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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F(t)=(1+t)^2/(1-t^5)
=(1+2t+t^2)Σ_{k=0~∞}t^{5k}
=Σ_{k=0~∞}(t^{5k}+2(t^{5k+1})+t^{5k+2})
=Σ_{n=0~∞}(a_n)t^n
a_{5k}=1
a_{5k+1}=2
a_{5k+2}=1
a_{5k+3}=0
a_{5k+4}=0
n (a_n) (a_(n+1)/a_n)
5k , 1 , 2
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(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
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Aベストアンサー

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(4)グラフツール→レイアウトタブ→選択対象の書式設定→軸のオプション→最大値、「固定」を選択、右の欄に100と入力し、閉じる。


蛇足。本当は、項目がもうひとつあった方が、見た目のバランスが良いです。(3項目なら三角形、4項目なら四角形になる)

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多分基本的な事を理解出来ていないのだと思います。
どなたか解法を教えて下さい。

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すると(1/3)*(3^x)^2+3=(3^x)^2+1となる。
これを式整理すると,(2/3)*(3^x)^2=2
すなわち(3^x)^2=3となります。
ここで3^x>0であることより3^x=√3
よってx=log[3]√3=log[3]3^(1/2)=1/2

わかりましたか??


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