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- 回答日時:
非同次の微分方程式の一般形は
x'' + f(t)x' + g(t)x = h(t)
ほいで、
x'' + f(t)x' + g(t)x = 0
の解がx0というのだから、
x0'' + f(t)x0' + g(t)x0 = 0 ・・・(あ)
xpは
x'' + f(t)x' + g(t)x = h(t)
の特解というのだから、
xp'' + f(t)xp' + g(t)xp = h(t) ・・・(い)
x(t) = x0 + xpとして、非同次の微分方程式に入れると、
x'' + f(t)x' + g(t)x
= (x0+xp)'' + f(t)(x0+xp)' + g(t)(x0+xp)
= (x0'' + f(t)x0' + g(t)x0) + (xp'' + f(t)xp' + g(t)xp) ・・・(う)
で、(あ)から
(x0'' + f(t)x0' + g(t)x0) = 0
(い)から
(xp'' + f(t)xp' + g(t)xp) = h(t)
になるので、
(う)式 = h(t)
となる。
よって、
x(t) = x0 + xpは、非同次の微分方程式の解となる。
みたいな感じ。
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