ベルヌーイ数B_i(i=1,2,...)は次式で定義される
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ...)^(-1) = 1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
ここで、zは複素数である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)B_1とB_2を求めよ。
(2)上式の左辺は次のように書きかえられる事を示せ。
(1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! +...)^1 = z/(e^z - 1)
(3)次のような関係式が成り立つ事を示せ。
z cot z = iz + 1 + B_1(2iz) + B_2(2iz)^2/2! + ...
(4)z/(e^z - 1) + z/2はzに関する偶関数である事を示せ。さらに、この結果を利用して、
B_2k+1 = 0, k = 1,2,...
を示せ。


という問題です。

(1)については自分なりに考えてみました。
a_n = 1/(n+1)!, b_n = B_n/n! (n≧0)、但しb_0=1
と置くと
(lim(n→∞)Σ(k=0~n)a_k z^k)^(-1) = lim(n→∞)Σ(j=0~n)b_j z^j だから
lim(n→∞)Σ(k=0~n)Σ(j=0~n)a_k b_j z^(j+k)) = 1  ←こうしちゃっていいのか自信が無いのですが。。。
これが恒等式となるためには左辺のzの1次以上の項の係数が0である必要がある。よって
B_1についてはk+j=1の係数を見て
a_1b_0 + a_0b_1 = 1/2! + B_1 = 0  ∴B_1 = -1/2
B_2についてはk+j=2の係数を見て
a_2b_0 + 2a_1b_1 + a_0b_2 = 1/3! + 2*1/2!*B_1 + B_2/2! = 0  ∴B_2 = 4/3
と考えたのですがこれで正しいのでしょうか?
(2)以降については手の付け所が分からないのでさっぱりです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

(1) f(z)=1 + z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ...


とすると
(2) 1/f(z)=1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
と定義されてる訳ですね。で、両辺を微分すると
(3) d(1/f(z))/dz= B_1 + B_2z/1! + B_3z^2/2! +...
という等式が成り立つ。(3)の左辺は
(4) d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
ここに
(5) f'(z)=df/dz = 1/2! + 2z/3! + 3z^2/4! + ...
ですね。また
(6) q(z)=(1/2! + z/3! + z^2/4! + ...)
とおくと
(7) f(z)=1+z q(z)
と書けますから
(8) f(z)^2=(1+z q(z))^2=1+2zq(z)+(zq(z))^2
従って、(4)に(5)と(8)を代入すると
(9) d(1/f(z))/dz=-(1/2! + 2z/3! + 3z/4! + ...)/[1+2zq(z)+(zq(z))^2]
これが左辺です。改めて(3)を書き直すと
(10) -(1/2! + 2z/3! + 3z/4! + ...)/[1+2zq(z)+(zq(z))^2]=B_1 + B_2z/1! + B_3z^2/2! +...
ここでz=0を代入してやりますとzの入っている項はみんな消えちゃうので、
(11) -(1/2!)/[1]=B_1
ゆえに
(12) B_1=-1/2
となります。

同様に、(3)をもう一回微分すると
(13) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]= B_2 + B_3z/1! +...
ですから、具体的に左辺を求めて、両辺にz=0を代入してやれば B_2が出てくる訳です。どうせ消えちゃうzの高次の項は"..."と書いとけば十分ですが、まじめにやりたければ(6),(7)式のようにして扱えば良いのです。
(14) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]= -d(f'(z)/(f(z)^2))/dz = [2(f'(z)^2)-f(z)f''(z)]/(f(z)^3)
ここに
(15) f''(z)=2/3! + 6z/4! + ...=1/3+z/4+..
ですから
(16) (d/dz)[d(1/f(z))/dz]=[2(1/2!+ 2z/3!...)^2-(1 + z/2! +..)(1/3+z/4+..)]/(1+z q(z))^3
z=0にすれば
(17) [1/2-1/3]=1/6
となります。ですから
B_2=1/6
が得られました。

計算間違いはいつもの事ですからチェック宜しく。
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この回答へのお礼

そのまんま微分してやればと言うのは、母関数を経由しないで最初の定義をそのまんまという事だったんですね。
詳しく書いていただけたおかげで良く分かりました。

1点だけ。
> (6) q(z)=(1/2! + z/3! + z^2/4! + ...)
とおいた所はおかなくても
d/dx 1/f(z) = -f'(z)/f(z)^2 = B1 + 2B2 z/2! + 3B3 z^2/3! + ...
なので
> (5) f'(z)=df/dz = 1/2! + 2z/3! + 3z^2/4! + ...
より両辺にz=0を入れれば
B1= -f'(0)/f(0)^2 = -1/2
と出来て手間が少ないと思うのですが。

あとはとても分かり易く丁寧に説明して頂けて本当に助かりました。
> 計算間違いはいつもの事ですからチェック宜しく。
チェックOKでしたよ。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/11 16:54

ホントだ。

z/(e^z - 1) の一階微分でz=0にしたら0/0になっちゃいますね。失礼失礼。
この場合、定義の式の左辺をそのまんま微分してやれば宜しいでしょう。
d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
においてz=0にすれば-1/2という答が得られます。

一般に、収束性については、様子が見えてくるまでは後回しにするのが良さそうですね。

この回答への補足

物分りが悪くてすみません。3点分かりません。

1点目、
d(1/f(z))/dz= -f'(z)/(f(z)^2)
=(e^z - 1 -ze^z)/(e^z - 1)^2
となったのですが、ここでもz=0を代入すると0/0となります。
色々式変形を試してみたのですがlim(z→0)f(z) = 1の時のように上手く行きません。
-1/2が出てくるまでの過程を教えてください。

2点目、
d(1/f(z))/dzが分かると何が分かるのですか?
d(1/f(z))/dz = 1/(d(f(z))/dz)が成り立つって訳でもないですよね。
どうB1に結びつくのか教えてください。

3点目、
B2についてはどうやるんですか?
d(1/f'(x))/dz = -f''(z)/(f'(z)^2)
とかを使うのですか?(これは上の2点が分かれば分かるのかな?)

何分物分りが悪いもので、出来れば出来るだけ詳しく、途中の式の変遷なども省略せずに
ご教授頂けると助かります。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。

補足日時:2001/06/09 17:52
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shushou です。



zを実数として考えるなら訂正することはないのですが、
設問にzは複素数とあるので
z/(e^z-1) は実数関数ではなく複素関数とみるのが自然ですね。
そうすると問題が起こってきます。
すべてのzで収束する、と書きましたが
e^z-1=0 をみたすzはz=0だけでなく
ほかにも z=±2nπ (n=1,2,3,...)
と無限個あります。
z=0ではz/(e^z-1) は収束しますが
z=±2nπ (n=1,2,3,...)ではz/(e^z-1) は収束しません。
だから|z|<2π の範囲で考えると都合がよいのです。
設問に|z|<2π が明記されていないのはちょっと不親切ですね。

複素関数論の勉強がまだでしたら、今はそんなに気にする必要は
ないと思いますよ。

この回答への補足

zの収束の話しに納得して肝心のテイラー展開の事を忘れていました。

> テイラー展開すると考えるとよいと思います。

というのはB1, B2を求める時に使えると言う事ですよね?
だとすると下のほうでstomachmanさんがおっしゃってる
> 1階微分してz=0を代入すれば
と同じ事だと思うのですが、stomachmanへの回答に対する補足でも言いましたように、
単純に1階微分してz=0を代入すると0/0になっちゃうんです。

f(z) = z/(e^z - 1)
として、z→0でf(x)→1なのでf(0)=1と定義する事が出来るのと同じように
f'(z) = (e^z - 1 - ze^z)/(e^z - 1)^2
も、上手く変数を変換する事でf'(x)→-1/2
とする事が出来るのでしょうか?出来たとしてその極限値をB1だと言い切っちゃっていいものでしょうか?

同じ事をf''(x)に対してもやるのかと思うと気が遠くなってしまうのですが。

補足日時:2001/06/08 19:49
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この回答へのお礼

なるほど、そう言う事でしたか。

そうか、『複素関数論』ってのもやんなきゃなんだな。それが分かった事も大収穫です。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/08 15:53

すみません。

下の回答訂正します。
z/(e^z-1)を|z|<2π においてテイラー展開すると考えると
よいと思います。

この回答への補足

え!?何が訂正ポイントなんですか?
下の説明で納得してしまったので気になってしまいます。

それと、テイラー展開はまだ勉強中で良く分かっていないのでもう少し詳しく教えていただけると助かります。
つまり何故|z|<2π なのか、それをする事で何が分かるのか、その辺りを。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。

補足日時:2001/06/08 03:39
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(1)はtaropoo さんのやり方であっていますよ。


収束うんぬんですが、設問に
ベルヌーイ数B_i(i=1,2,...)は次式で定義される
とあるので、収束とかはとりあえず不問にして、
定義されるとすればB_iはいくつになるのか、を
考えればよいのです。
(2)ですべてのzで収束することが明かされるので
taropoo さんの心配は杞憂ですね。
また(2)を見れば
>Σ(k=0~n)a_k z^k→0
となるようなz(<∞)は存在しないことが分かりますね。
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この回答へのお礼

> 2)ですべてのzで収束することが明かされるので
> taropoo さんの心配は杞憂ですね。
これには納得です。
やはり順番としては(2)を先に解いて、全てのz(<∞)について収束する事を示して(1)に取りかかるのが気持ちが良さそうですね。

お礼日時:2001/06/08 03:34

ベルヌーイ数については過去にも質問があります。

検索してみてください。
(1) はおいといて、
(2)はごりごりと言うほどのものでもないでしょう。左辺をf(z) としましょう。
e^z = 1 + z/1! + z^2/2! + z^3/3! + ...
は分かりますよね。するてえと、
(e^z)/z=1/z + 1+ z/2! + z^2/3! + ...
です。つまり
(e^z-1)/z=1+ z/2! + z^2/3! + ...
左辺はその逆数ですから、
f(z) = z/(e^z-1)
こういうのを母関数(bokansuu)と呼びます。1階微分してz=0を代入すればB_1, 一般にN階微分してz=0にすればB_Nが得られます。これで(1)が解決。
(3)右辺をg(z)とします。
f(z) =(1 + B_1z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +... )
を使ってg(z)を表すと
g(z)=f(2iz)+iz
です。(2)を使って
g(z)=iz(2/(e^(2iz)-1)+1)=iz(e^(2iz)+1))/(e^(2iz)-1)
さてと、
e^(2iz) = (e^(iz))^2 = (cos z + i sin z)^2
1=(cos z)^2 + (sin z)^2
ですから、
e^(2iz)+1=2(cos z)(cos z+ isin z)
e^(2iz)-1=(-i)2(sin z)(cos z+ isin z)
を使って... あとはできますよね。
(4) ここまで手駒が揃っていれば、「z/(e^z - 1) + z/2はzに関する偶関数」というのはご自分で頑張って貰いましょう。
f(z) +z/2=1 + (B_1+1/2)z + B_2z^2/2! + B_3z^3/3! +...
がzに関する偶関数だから、zの奇数乗の項は全部係数が0で無くてはならない。

この回答への補足

> 1階微分してz=0を代入すればB_1
1階微分してz=0を代入すると0/0になりますよ。

計算ミスは置いておいて僕の解法は正しいんでしょうか?
(lim(n→∞)Σ(k=0~n)a_k z^k)^(-1) = lim(n→∞)Σ(j=0~n)b_j z^j …(a)
だから
lim(n→∞)Σ(k=0~n)Σ(j=0~n)a_k b_j z^(j+k)) = 1 …(b)
としちゃってますが、例えば
Σ(k=0~n)a_k z^k→0, Σ(j=0~n)b_j z^j→+∞ (n→∞)
だとすると式(a)は成り立っても必ずしも式(b)が成り立つとは限りませんよね?
(a)が成立している時点で任意のzについて式(a)は収束すると捉えていいのでしょうか?

他の点に関しては全てクリアになりました。残すは(1)のみです。
設問がベルヌーイ数の知識を要求していないので、あくまで設問内での定義でお願いします。
(過去のログは拝見させていただきました。)

補足日時:2001/06/08 00:21
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(2)e^zのマクローリン展開を使ってz/e^z-1をゴリゴリ変形して行けば良いはず。


(3)やはりcotのマクローリン展開をつかってゴリゴリ式変形で良いはず。
e^ix=cos(x)+i*sin(x)とかも使うかも。

もしダメだったらごめんなさい。僕も良く分かっていないので。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/08 00:05

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(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
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k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

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A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
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λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
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{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む


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