三次関数の面積について

三次関数f(x)=x^3-2x上の点P(1,-1)における接線とy=f(x)…(曲線C)との交点Qがあり、

曲線Cと線分PQで囲まれた部分の面積S1と曲線Cと線分OQで囲まれた部分の面積S2にはどのような関係が成り立 つでしょうか。
各面積までは求めましたが、これらの面積の間に成り立つ一般的な予測とその証明方法がわかりません。お願いします

No.3 回答者： transcendental 回答日時： 2014/06/23 08:00

P（a、a＾３－２a）、（a＞√（２/３））として、S１（a）、S２（a）を計算してみます。

S1（a）＝∫[-2a to a]｛（ｘ－a）＾２・（ｘ＋２a）｝ｄｘ＝（２７/４）・a＾３
S２（a）＝∫[-2a to 0]｛ｘ＾３－４a＾２・ｘ｝ｄｘ＝４a＾４．
以上より、
S１：S２＝２７：１６
となっています。
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No.2 回答者： meowcoooo 回答日時： 2014/06/23 07:41

S1=27/4

S2=4

どのような関係があるのか
とは別に特別な解答があるとは限らない

S1:S2=27:16
でも
S1=27/16 S2
でも

がんばっても
S1:S2=3^4:2^4 /3
でS1の幅は3
でS2の幅は2
で…
続き思いつかないけど
二次関数と直線での面積で
S=|a|/6 ×L^3
があるように
3次関数とその接線に囲まれる面積にも
S=|a|/12 ×L^4
がありますね。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/23 01:54

>各面積までは求めましたが、これらの面積の間に成り立つ一般的な予測とその証明方法がわかりません。

何を追って一般的予測というのかわかりませんがS１、S2を計算する以上の何物もないように思えます。

PQ：y=x-2

OQ：y=2x

S1=∫(-2,1)[x^3-2x-(x-2)]dx=27/4

S2=∫(-2,0)[x^3-2x-2x]dx=4