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初めて質問します!少し追い込まれた状況なので、
もし分かる人がいたらお願いします!

arctan(x)の微分は分かるのですが、arctan(x/a)の微分が分からないです!研究室の実験の解析にどうしてもこの式の解が必要なので、お願いします☆

A 回答 (3件)

y=arctan(x)をxで微分するとy'=1/(1+x^2)。


y=arctan(x/a)でt=x/aと変数を置き換えてやると
 y=arctan(t)  (1)
となりますね。(1)をxで微分するにはpooh0206さんがおっしゃている合成関数の微分法を利用すれば言いわけで、具体的には
 dy/dx=(dy/dt)(dt/dx) (2)
という形になります。そこで右辺の各微分を計算すると
 dy/dt=1/(1+t^2)=1/{1+(x/a)^2}
dt/dx=1/a
となります。これから(2)はすぐ計算できますね。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます!
あわてると頭が回らなくなってしまうものですね…
すぐに理論計算に応用させていただきます☆

お礼日時:2004/05/22 23:00

y=arctan(x/a)を変形すると


x/a=tan(y)
両辺をxで微分すると
1/a=1/(cos(y))^2*dy/dx
∴dy/dx={cos(y)}^2/a={cos(arctan(x/a))}^2/a
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素直に合成関数と見なして計算すればいいのではないでしょうか?

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Qarctanの微分について質問させていただきます

atan(a/x)をxで微分したらどのような答えになるのでしょうか?
atan(x)は公式で見たのですが、分数では分からなくなってしまいました。
お願いします。

Aベストアンサー

合成微分ですね。a/Xを一つの変数だと思って微分してから、「a/Xをxで微分したもの」を掛ける。
ややこしければ、t=a/Xなどと置くといいでしょう。

実際にやってみます。 a/Xを一つの変数だと思って微分すると
  1/((a/x)^2+1)

a/Xをxで微分すると -a/X^2

これらを掛けると -a/(a^2+x^2)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q逆三角関数 微分

arcTan(x) の微分は、1/(1+x^2) だと思うのですが、
分子の1はxの微分がかかっているのでしょうか。

arcTan(2x) の微分は、2/(1+4x^2) になるのか、 1/(1+4x^2) になるのかが知りたいです。

Aベストアンサー

f'(x)=g(x)なら
f'(ax)=ag(ax)
です。
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=g(x)
なら

f(2x)=arctan(2x)のときは
f'(2x)=2g(2x)=2/{1+(2x)^2}
になります。

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

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(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

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(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q微分積分の問題。微分係数の問題です。

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(2)y=(Tan^-1x)^2 (x=-1)



値は分かるんですけど微分係数の求め方が分かりません。


lim(h→0) {f(a+h)-f(a)}/h で求めるんでしょうか?でも求まらないような……。

途中式含め教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

(1)はy = Arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね?
y = (Arcsin x)/2 ではないですよね?

(1) x = 1のときy = Arcsin(1/2) = π/6.

y = Arcsin(x/2)より
x = 2sin y
dx/dy = 2cos y

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3.

(2) x = -1のときy = (Arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2.

y = (Arctan x)^2より
Arctan x = ±√y.
この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており,
Arctan x = -√y.

x = tan(-√y) = -tan √y
dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y)

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= -(2√y)cos^2 √y
= -2・(π/4)・cos^2(π/4)
= -2・(π/4)・1/2
= -π/4.

※ついうっかり符号の処理を誤ってしまいそう.

[別解]
(Arcsin x)' = 1/√(1 - x^2),
(Arctan x)' = 1/(x^2 + 1)
を用いると,

(1)
dy/dx = 1/{2√(1 - (x/2)^2)} = 1/√(4 - x^2)
= 1/√3 = (√3)/3.

(2)
dy/dx = (2 Arctan x)/(x^2 + 1)
= (2 Arctan(-1))/2
= -π/4.

※符号の処理をしなくていいから,こっちのほうが間違いは少ないかも...

(1)はy = Arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね?
y = (Arcsin x)/2 ではないですよね?

(1) x = 1のときy = Arcsin(1/2) = π/6.

y = Arcsin(x/2)より
x = 2sin y
dx/dy = 2cos y

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3.

(2) x = -1のときy = (Arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2.

y = (Arctan x)^2より
Arctan x = ±√y.
この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており,
Arctan x = -√y.

x = tan(-√y) = -tan √y
dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y)

∴dy/dx = 1/(dx/dy)
= -(2√y)c...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む