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三次元空間において、曲面z=5x^2+4xy+8y^2と平面z=1で囲まれた図形の体積の求め方を教えてください。

恥ずかしいことに、何をしていいのか全く分かりません。
z=1のときのxy平面上の図形の面積を求めて、それをz方向に積分するのでしょうか?そうだとしたら、z=1からどこまでか分かりません。囲まれたとありますから、与えられた曲面の最大値(最小値)を求めて、z=1からz=最大値(最小値)まで積分するのでしょうか?

回答よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

>No.2です。


念のため平面y=b上に出来る面積S(b)の積分で体積を求めてみます。
平面y=bと曲面z=5x^2+4xy+8y^2との交線は
z=5x^2+4bx+8b^2=5(x+2b/5)^2+36b^2/5だからx-z平面上の
頂点が(-2b/5,36b^2/5)の下に凸の二次曲線。この曲線と
平面y=b上の直線z=1とが囲む面積S(b)は、1<36b^2/5ではS(b)=0。
1≧36b^2/5では、5x^2+4bx+8b^2=1の解をα、β(α≦β)とすると、
S(b)=∫[x=α→β]{1-(5x^2+4bx+8b^2)}dx
=(-5/3)(β^3-α^3)-2b(β^2-α^2)+(1-8b^2)(β-α)となる。
5x^2+4bx+8b^2-1=5(x-α)(x-β)=5x^2-5(α+β)x+5αβから
(α+β)=-4b/5、αβ=(8b^2-1)/5、
(β-α)=√{(β+α)^2-4αβ}=√{(-4b/5)^2-4(8b^2-1)/5}
=√(20-144b^2)/5
β^3-α^3=(β-α)(β^2+α^2+αβ)=(β-α){(β+α)^2-αβ}
(β^2-α^2)=(β-α)(β+α)だから
S(b)=[(-5/3){(-4b/5)^2-(8b^2-1)/5}-2b(-4b/5)+(1-8b^2)]√(20-144b^2)/5
=√2(10-72b^2)^(3/2)/75
求める体積(Vとする)はS(b)≧0となる範囲、すなわち1≧36b^2/5で
積分すればよく、√2(10-72b^2)^(3/2)/75は偶関数だから
V=∫[b=-√5/6→√5/6]S(b)db=2∫[b=0→√5/6]{√2(10-72b^2)^(3/2)/75}db
=2√2/75∫[b=0→√5/6](10-72b^2)^(3/2)db
=2√2{10^(3/2)}/75∫[b=0→√5/6]{1-(6b/√5)^2)}^(3/2)db
6b/√5=tで置換。b=(√5/6)t、db=(√5/6)dt
b=0でt=0、b=√5/6でt=(6/√5)(√5/6)=1だから
V=(√5/6)2√2{10^(3/2)}/75∫[t=0→1](1-t^2)^(3/2)dt
=(4/9)∫[t=0→1](1-t^2)^(3/2)dt
1≧t^2だからt=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)で置換、dt=cosθdθ
t=0でθ=0、t=1でθ=π/2だから
V=(4/9)∫[t=0→1](1-t^2)^(3/2)dt
=(4/9)∫[θ=0→π/2](1-sin^2θ)^(3/2)cosθdθ
=(4/9)∫[θ=0→π/2](cos^2θ)^(3/2)cosθdθ=(4/9)∫[θ=0→π/2]cos^4θdθ
=(4/9){(3/8)θ+(1/4)sin2θ+(1/32)sin4θ}[0→π/2]=π/12・・・答
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>平面x=aと曲面z=5x^2+4xy+8y^2との交線は


z=5a^2+4ay+8y^2=8{y+(1/4)a}^2+(9/2)a^2だからy-z平面上の
頂点が(-a/4,9a^2/2)の下に凸の二次曲線。この曲線と平面x=a上の
直線z=1とが囲む面積(S(a)とする)は、8y^2+4ay+5a^2=1の解
をα、β(α≦β)とすると、9a^2/2>1ではS(a)=0、9a^2/2≦1では
S(a)=∫[y=α→β]{1-(8y^2+4ay+5a^2)}dy
求める体積(Vとする)はS(a)を9a^2/2≦1の範囲で積分すればよい
ので、V=∫[a=-√2/3→√2/3]S(a)da。以下計算すると
8y^2+4ay+5a^2-1=8(y-α)(y-β)=8y^2-8(α+β)y+8αβから
α+β=-(1/2)a、αβ=(5a^2-1)/8
S(a)=∫[y=α→β]{1-(8y^2+4ay+5a^2)}dy
=(8/3)(α^3-β^3)+2a(α^2-β^2)+(5a^2-1)(α-β)
ここで
α^3-β^3=(α-β){(α+β)^2-αβ}=(α-β)(1-3a^2)/8
α^2-β^2=(α-β)(α+β)=-(α-β)a/2を代入すると
S(a)=(8/3)(α^3-β^3)+2a(α^2-β^2)+(5a^2-1)(α-β)
=(α-β){9a^2-2}/3
α-β=-√{(α+β)^2-4αβ}=-√{(-(1/2)a)^2-4(5a^2-1)/8}
=-(1/2)√(2-9a^2)だから
S(a)=(1/6)(2-9a^2)^(3/2)
S(a)は偶関数だから
V=∫[a=-√2/3→√2/3]{(1/6)(2-9a^2)^(3/2)}da
=(1/3)∫[a=0→√2/3](2-9a^2)^(3/2)da
=2√2/3∫[a=0→√2/3]{(1-(3a/√2)^2}^(3/2)da
3a/√2=tで置換するとda=(√2/3)dtから
V=(4/9)∫[t=0→1](1-t^2)^(3/2) dt
t^2=9a^2/2≦1だからt=sinθ(0≦θ≦π/2)とおくと
V=(4/9)∫[θ=0→π/2](1-sin^2θ)^(3/2)cosθdθ
=(4/9)∫[θ=0→π/2]cos^4θdθ
=(4/9){(3/8)θ+(1/4)sin2θ+(1/32)sin4θ}[θ=0→π/2]
=π/12・・・答
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曲面と辺面の交わりは「楕円」です。

その楕円の、xy平面上への正射影を表す関数の式は、
5x^2+4xy+8y^2=1 より、y={-x±√(2-9x^2)}/4
となります。(原点中心で軸がx、y軸ではなく、ある角度だけ回転した状態)

z(0、0)=0ですから、曲面はこの範囲では平面z=1の下の方にあります。この楕円の内部および周囲の領域をDとすると求める立体の体積Vは、
V=∫∫[D]{1-5x^2-4xy-8y^2}dxdy
=∫[-sqrt(2)/3 to sqrt(2)/3]dx∫[α to β]{1-5x^2-4xy-8y^2}dy
=2∫[0 to sqrt(2)/3]{(1-5x^2)y+2xy^2+(8/3)y^3}dx
=・・・
=(80/81)√2.
------------------------
ただし、
α={-x-√(2-9x^2)}/4、β={-x+√(2-9x^2)}/4.
※ 計算ミス、打ちミスがあればご容赦を。
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