2つの円の交点の問題で、相異なる2つの点で交わるとあるのですがこの場合、接点は入るのですか?

A 回答 (3件)

接点だと交わる点がひとつになるので、


そうではなくて円が重なった状態のことを指しているのではないでしょうか??
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ちょっと問題の想像がつきにくいですが、接点があると、交点は2つ出来ないと思います。


2つの円の交点が1つの場合=接している
という事です。
交点が2つの場合は交わっています。
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私が「言葉の意味を教えてください。

」と聞きたくなってしまうんですが。。。

「接点は入るのですか?」とはどういう意味ですか?
その「接点」とは2つの円が1つの点で接する場合の接点のことですか?
だとすれば「相異なる2点で交わる」と明言されているので、2つの円が1つの点で接する場合は題意に反すると思いますが。
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{y=4x+10
{y=3x+5       として
交わるためにyが等しいから 4x+10=3x+5
                  x=-5
     代入して y=-10

と求めているのですが、2つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか?


ご回答お待ちしております。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>2つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、
>根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか?
そうですね。
交点や交点を通る式(交点のx座標とy座標が満たす関係式)を求める時は、
2つの式のx,yは2つの式の交点の座標(x,y)である考えて下さい。
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「2つの円
C1:x^2+y^2+ax+by+c=0
C2:x^2+y^2+Ax+By+C=0
が2点P,Qで交わるとき,直線PQの方程式は
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で与えられる.」
の根拠がわかりません.
2つ目の式でk=-1なら1つ目の式になってしまうからk≠-1と断っているのかな.とは思いますがほかがわかりません.
どうすれば証明できるのですか?

Aベストアンサー

>どうすれば証明できるのですか?

簡単.
f(x,y)=0とg(x,y)=0の交点ってのは
連立方程式
f(x,y)=0
g(x,y)=0
の解.そこでその交点が存在すると仮定して
それを(a,b)とする.
そのとき
kf(x,y)+lg(x,y)=0
で表される図形はかならず点(a,b)を通る
だって f(a,b)=0かつg(a,b)=0だから

さて
f(x,y)=x^2+y^2+ax+by+c
g(x,y)=x^2+y^2+Ax+By+C
とおいて,これらが二点で交わるのであれば
その交点を結ぶ直線が存在する.
直線はかならず一次式で表される.
一方,kf(x,y)+lg(x,y)=0はk,lにかかわらず
かならずその二つの交点を通る図形である.
ここで
kf(x,y)+lg(x,y)
が一次式になれば,それは直線であり,
二つの交点を通るものである.
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一次式になるので,例えばk=1.l=-1とすれば
それは「一次式で二つの交点を通る直線」となる.
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kf(x,y)+lg(x,y)=0は円周を表す.
また,交点を通ることも明らかである.

>どうすれば証明できるのですか?

簡単.
f(x,y)=0とg(x,y)=0の交点ってのは
連立方程式
f(x,y)=0
g(x,y)=0
の解.そこでその交点が存在すると仮定して
それを(a,b)とする.
そのとき
kf(x,y)+lg(x,y)=0
で表される図形はかならず点(a,b)を通る
だって f(a,b)=0かつg(a,b)=0だから

さて
f(x,y)=x^2+y^2+ax+by+c
g(x,y)=x^2+y^2+Ax+By+C
とおいて,これらが二点で交わるのであれば
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------
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中心のx座標をtとおくと、中心の座標は、(t,-a/b(t-a/2)+b/2)と
なります。

ここで、円の方程式は、

(x - t)^2 + (y-{-a/b(t-a/2)+b/2})^2 = t^2 + {-a/b(t-a/2)+b/2}^2

より、

x^2 - 2tx + y^2 + 2{(a/b)t-(a^2/2b+b/2)}y = 0----(1)

になります。すなわち、O、Aの2点を通る円の方程式は、全て、
(1)の形式で表されます。

ここで、f(x,y) = 0をt=t1, g(x,y)をt=t2と置くとき、

f(x,y) = x^2 - 2t1x + y^2 + 2{(a/b)t1 -(a^2/2b+b/2)}y = 0
g(x,y) = x^2 - 2t2x + y^2 + 2{(a/b)t2 -(a^2/2b+b/2)}y = 0

kf(x,y) + g(x,y) =
(k+1)x^2 - 2(kt1+t2)x + (k+1)y^2 + 2(a/b){(kt1+t2) -(k+1)(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------ (2)

k=-1ならばkf(x,y)+g(x,y) = 0は直線になるので、k+1≠0のみ
について考えればよい事から、(2)式の両辺を(k+1)で割れば、

x^2 - 2(kt1+t2)/(k+1)x + y^2 + 2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------- (3)

ここで、

t = t3となるようなkの値が存在するかを確認すれば、
g(x,y) = x^2 - 2t3x + y^2 + 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y = 0
(3)式と恒等的に等しくなるには、

-2(kt1+t2)/(k+1)x = -2t3x-------(4)
2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y-----------(5)

(4)より、
(kt1+t2) = t3(k+1)
(t1-t3)k = t3-t2
k = (t3-t2)/(t3-t2)
(5)も同様の方程式になるので、
t1≠t3となるようなkの値は存在する事がいえます。
すなわち、t1≠t3となるような任意のt3に対応する円の方程式は
kf(x,y) + g(x,y) = 0と表す事が出来ます。
なお、t1=t3となるようなt3のときの円の方程式は、f(x,y)=0になるので、
これは、kf(x,y)+g(x,y)=0の形式では表せません。

O(0,0),A(a,b)(b≠0、b=0の場合は割愛します。)の2点を通る円の方程式の一般系を考えると、円の中心は、線分OAの二等分線上にある事から、二等分線の方程式はy = -a/b(x-a/2) + b/2なので、
中心のx座標をtとおくと、中心の座標は、(t,-a/b(t-a/2)+b/2)と
なります。

ここで、円の方程式は、

(x - t)^2 + (y-{-a/b(t-a/2)+b/2})^2 = t^2 + {-a/b(t-a/2)+b/2}^2

より、

x^2 - 2tx + y^2 + 2{(a/b)t-(a^2/2b+b/2)}y = 0----(1)

になります。すなわち、O、Aの2点を通る円の方程...続きを読む


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