上面の半径が10cm深さが20cmの直円錐形の容器がその軸を鉛直にして置かれている。この容器に毎秒3立方cmの割合で静かに水を注ぐ時、水の深さが6cmになる瞬間の、水面の上昇する速さと水面の面積の増加する速さを求めよ。
 という問題なのですが、多分積分の問題だろうと思うのですが、僕の家族は期待してもしょうがないけど全く分かりません。誰かこの問題の分かる方教えてください。それと三乗ってどうやって入力するのでしょうか?

A 回答 (3件)

kajuram さんの回答がありますので,もうお分かりかと思いますが,「水面の面積の増加する速さ」の方を回答しておきます。



水の深さ x cm の時の水面の面積 S は,
  S = π x (半径)^2 = π x (x/2)^2

ここで速度は時間あたりの変化ですから,水面の面積の増加する速度は (dS/dt) と微分になります。

したがって,
  dS/dt = d(π x (1/4) x (2x) )/dt = (π/2) x (x) x (dx/dt)

ここで,(dx/dt) は求まっていますから (dS/dt) も求まります。

いかがですか。
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この回答へのお礼

 すごくスマートな解法ですね!ばっちり提出できました。感謝感謝です。

お礼日時:2001/06/12 20:16

時刻tの時の深さをH(t),水面の面積をS(t),体積をV(t)と置くと、



S(t)=π{H(t)/2}^2
V(t)=S(t)H(t)/3
V(t)/dt=3

というのが一番素直な式のたてかただと思います。
いや、別にそれだけなんですが。聞き流しちゃってください。
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この回答へのお礼

 この解法もスマートでいいですね!全然思いつきませんでした~。ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2001/06/12 20:17

積分ではなく、微分の問題ですね。



水の深さをxとすると、水面の半径はx/2となりますね。
このときの体積Vは、V=(π/12)x^3となりますね。
ココで、時間tについて微分をとります(ちなみに、Vとxはtの関数です)。

 (dV/dt)=(π/12)3x^2(dx/dt)

となります。
後は、わかりますよね。
たぶん、あっていると思いますが、自信はあまりありません。
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この回答へのお礼

 ありがとうございます。なんとか締め切りまでに提出する事ができました。本当にご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/12 20:12

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 未然形に接続する助動詞 「らる」「さす」「ず・ざり」「む」「むず」「まし」「まほし」 同じく助詞 (仮定の)「ば」(打消接続の)「で」。その他は省略。

 連用形に接続する助動詞 「き」「けり」「つ」「ぬ」「たり」「たし」  同じく助詞「て」「つつ」「ながら」「てしか」「にしか」  同じく連用中止法の形「任せ、」及び「任せきり」のように他の動詞がつく形も連用形です。 

 その他に、「任せぬ」のような形の「ぬ」が、完了の助動詞の終止形になるか、「打消」の助動詞「ず」の連体形かの判断が必要になることもある。この場合はさらに「ぬ」の後に接続する語を判断する。「任せぬ」で言い切った場合は結果的に、「完了」と考え「任せ」は「連用形」になる。「任せぬ時」のように続く場合は「ぬ」は打消の「ず」の連体形と考えられ、結果的に「任せ」は「未然形」と決まります。

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a^3 (b-c) + b^3 (c-a) + c^3 (a-b)
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= (b-c)a^3 -(b-c)(b^2 + bc + c^2)a +bc(b+c)(b-c)  ← 項を因数分解
= (b-c){ a^3 - (b^2 +bc + c^2)a +bc(b+c) }
= (b-c){ (c-a)b^2 + (c^2 - ca)b + a^3 - c^2 a }  ← b でまとめた。次数が a より低かったから
= (b-c){ (c-a)b^2 + c(c-a)b - a(c+a)(c-a) }
= (b-c)(c-a){ b^2 + cb -a(c+a) }
= (b-c)(c-a){ (b-a)c + b^2 - a^2 }
= (b-c)(c-a)( (b-a)c +(b-a)(b+a) }
= (b-c)(c-a)(b-a){ c+(b+a) }
= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

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の作業しかやってません。

見ずにできるようにしてほしい。そうでなければ私が書き込んだ意味が無い。



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a^3 (b-c) + b^3 (c-a) + c^3 (a-b)
= a^3 (b-c) + b^3 (c-b+b-a) + c^3 (a-b)  ← b-c と a-b のグループに二分されるが互いの因数が出るはず!
= a^3 (b-c) - b^3 (b-c) - b^3 (a-b) + c^3 (a-b)
= (b-c)(a^3 - b^3) - (a-b)(b^3 - c^3)
= (b-c)(a-b)(a^2 + ab + b^2) - (a-b)(b-c)(b^2 + bc + c^2)  ← キターーーーーッ!
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= (a-b)(b-c){ (a-c)b + (a-c)(a+c) }
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幾何学について教えて下さい。正円に内接した上向きの三角形と下向きの三角形があります。ヒランヤ図形です。ダビデの盾とも呼ばれています。僕の計算によると、正円の中のヒランヤ図形の面積はその円の面積の半分以下になってしまいます。本当に正しいでしょうか?幾何学に詳しい方に宜しく御教授御願い申し上げます。

Aベストアンサー

こんばんわ。

「三角形」は正三角形でいいんですよね?
その前提で考えてみました。

・円の半径を rとします。

・大きな正三角形の一辺の長さは、√3* rとなります。

・添付の図のように補助線を引くと、「ヒランヤ図形」は小さな正三角形 12個分であることがわかります。
そして、小さな正三角形の一辺の長さは、(大きな正三角形の一辺の長さ)× 1/3になります。

・小さな正三角形の面積を求めると、(√3/12)r^2となります。
よって、「ヒランヤ図形」の面積は √3* r^2になります。

・円の面積は πr^2ですから、√3とπの比較になりますね。

半分よりは大きいようです。^^

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注1):しきりの厚さは考えないものとする。
 2):しきりは半径が10cmの円で、高さが20cmの筒の形です。
 3):立方体はしきりA、Bともに、真上から見ると上から3個、4個、4個、3個のようにしきつめるものとする。

問1 立方体をしずめていき、しきりBから水があふれるのは何回目ですか。
問2 しきりの外側の水の高さが、しきりAの内側の水の高さをこえるのは何回目ですか。

Aベストアンサー

すいません 問2で筒Aないの上昇分を忘れていました。
 
 問2 40*25(水槽面積)-10*10*3(筒の面積)*2=400(残りの面積)    
    問1で192*0.5分あふれているので
    192*0.5/400=0.24上昇している
    また、筒Aは4*4*4*13/(10*10*3)≒2.77上昇している。
    13回目の水位の差は
    2.77-0.24=2.53
    筒Bからあふれる水による水位の上昇は
    192/300=0.64
    筒Aの水位の上昇は
    4*4*4/(10*10*3)≒0.21
    上記より 0.64-0.21=0.43差が縮まるので
    2.53/0.43≒5.88 6回目
    よって 13+6=19回目
   

Q画面の一番下にあった時計の横の音量調節のスピーカーの形をしたアイコンが消えています

画面の一番下にあった時計の横の音量調節のスピーカーの形をしたアイコンが消えています。常時表示表示させたいのですがやり方がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

スタート
→コントロールパネル
→サウンド、音声・・・
→サウンドとオーディオデバイス
→デバイスの音量の中にあるタスクバーに音量アイコンを配置するにチェックをつける。

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縦12cm・横15cm・高さ8cmの直方体の容器の中に、鉄でできた直方体が5つ入っています。5つの直方体は高さがすべて1cmで、底面は下からそれぞれ1辺が10cm、8cm、6cm、4cm、2cmの正方形です。(8cmの鉄は10cmの中央に、6cmの鉄は8cmの中央に・・・という風に置いてあります)
この容器の中に1秒間に40立方センチメートルの水を入れていきます。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

問い 水を10秒間入れた後、下から2番目の直方体を取り出しました。水の深さは何cmですか。

答えは 135/44cmですが、求め方がわかりません。

Aベストアンサー

「下から2番目の直方体を取り出しました。」というなら,
はじめからないものとして計算していいんでしょう。

容器の底面積は,
12[cm]*15[cm]=180[cm^2]
下から,高さ1[cm]ずつの容量は,鉄のブロックの分を引くと,
1[cm]で,
180[cm^2]*1[cm]-10[cm]*10[cm]*1[cm]=80[cm^3]
いか同様に,
2[cm]で,
180-36=144[cm^3]
3[cm]で,
180-16=164[cm^3]
4[cm]で,
180-4=176[cm^3]
5[cm]以上は,
180[cm^3]
になります。
下から,1[cm]ずつのトータル容量は,
1[cm]で,80[cm^3]
2[cm]で,80+144=224[cm^3]
3[cm]で,224+164=388[cm^3]
4[cm]で,388+176=564[cm^3]
になります。
一方,水の量は,
40[cm^3/s]*10[s]=400[cm^3]
だから,3[cm]までの388[cm^3]と12[cm^3]です。
4[cm]部分でこの12[cm^3]がどのくらいの深さになるかは,
これを4[cm]部分の断面積で割って求めます。
12[cm^3]/176[cm^2]です。
これと3[cm]を足せば答えになります。
3+12/176=135/44[cm]
です。

「下から2番目の直方体を取り出しました。」というなら,
はじめからないものとして計算していいんでしょう。

容器の底面積は,
12[cm]*15[cm]=180[cm^2]
下から,高さ1[cm]ずつの容量は,鉄のブロックの分を引くと,
1[cm]で,
180[cm^2]*1[cm]-10[cm]*10[cm]*1[cm]=80[cm^3]
いか同様に,
2[cm]で,
180-36=144[cm^3]
3[cm]で,
180-16=164[cm^3]
4[cm]で,
180-4=176[cm^3]
5[cm]以上は,
180[cm^3]
になります。
下から,1[cm]ずつのトータル容量は,
1[cm]で,80[cm^3]
2[cm]で,80+144=224[cm^3]
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Q奥多摩の大岳山の特徴ある山容は、どこから見ても下のリンク先のような形な

奥多摩の大岳山の特徴ある山容は、どこから見ても下のリンク先のような形なのでしょうか?
もし、違う形に見えるのをご存知の方いられましたらお答えお願いいたします。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Otake-san2.jpg

Aベストアンサー

大岳山は山に囲まれていて、開けた東側から見る場合が大半だと思います。それでも奥多摩湖方面、御岳、桧原村、奥多摩周遊道路方面などからも見られますね。色々な方角から見た写真を載せておきます。上手くリンクしないようでしたらリンク先をコピーして別ウィンドウに貼り付けて見て下さい。

まずこちらがよく写真に出てくる大岳山で、至近距離のもの(東側)
http://livedoor.2.blogimg.jp/etouchiryouin/imgs/0/d/0dbbd855.JPG

八王子みなみ野シティより遠方に見た大岳山(南東側)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/8/80/%E4%B8%89%E9%A0%AD%E5%B1%B1%EF%BC%BF%E5%A4%A7%E5%B2%B3%E5%B1%B1%EF%BC%BF%E5%85%AB%E7%8E%8B%E5%AD%90%E3%81%8B%E3%82%89.JPG
私も大岳山の見える位置に住んでいます。近所のおばあさんが、子供の頃よりキューピー人形が寝ているように見えることから「キューピー山」と呼んでいたそうです。

桧原小(南側)から見た大岳山
http://itsukaichi.up.seesaa.net/image2/071115-6.JPG
桧原村、浅間嶺(南南西側)から見た大岳山
http://tokpa.web.fc2.com/seng/bp10.html

↓数馬方面(南西側)から見た大岳山
http://www.geocities.jp/watnohp/yama/sengmatu091103/sengmatu091103_0500.jpg
↓こちらが西南西側(三頭山・都民の森)方向から見た大岳山(左側の山)
http://image.blog.livedoor.jp/terusanyo/imgs/8/9/8951c91f.JPG
↓同じく御前山(左側)を含めて。通常、後に見える御前山が手前に見えます。
http://teel.mimoza.jp/odekake/09/odekake090221.html#(ページ内の下寄り)

奥多摩(北側方面)から見た大岳山(左側の山)
http://www.geocities.jp/yamakoji165/page017.html
御岳山方面(北北東側)から見た大岳山
http://blog-imgs-32.fc2.com/m/7/n/m7n4wfm19541121/20090921231704af9.jpg

日の出山山頂(東北東側)から見た大岳山
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/upimg/3/33965/01113569e984d3bc4bc5e4af8132f78a.JPG

大岳山は山に囲まれていて、開けた東側から見る場合が大半だと思います。それでも奥多摩湖方面、御岳、桧原村、奥多摩周遊道路方面などからも見られますね。色々な方角から見た写真を載せておきます。上手くリンクしないようでしたらリンク先をコピーして別ウィンドウに貼り付けて見て下さい。

まずこちらがよく写真に出てくる大岳山で、至近距離のもの(東側)
http://livedoor.2.blogimg.jp/etouchiryouin/imgs/0/d/0dbbd855.JPG

八王子みなみ野シティより遠方に見た大岳山(南東側)
http://upload.wikimedia...続きを読む

Q円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台

円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台B,Cに分けた。このときBの体積が21cm3であったとすると、Cの体積はいくらか。

解説↓
円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる。体積は、円錐A:円錐A+円錐台B=1:8となる。円錐Aの体積をxとすると、1:8=x:(x+21)となり、x=3となり、円錐Aの面積は3である。円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台B+円錐台C=1:27となる。円錐台Cの体積をxとすると、1:27=3:(3+1+x)となり、x=57となる。

解説で「円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる」とあります。相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?
どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?

底面だけ比べても相似だからです。(側面積も同様に4倍です。)

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?

高さと底面積から体積を求めるので、底面積だけについて述べた方がいいでしょう。


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