痔になりやすい生活習慣とは?

x、y、z、uは1、2、3、4の4つの数を並べかえたものとする。 y²+2yz+z²+xy+zu+yu+xz+xuの最大値と最小値を求めなさい。(解説もよろしくお願いします)

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A 回答 (6件)

y²+2yz+z²+xy+zu+yu+xz+xu



↓ y²+2yz+z²=(y+z)²

(y+z)²-yz+{yz+xy+zu+yu+xz+xu}

↓ yz+xy+zu+yu+xz+xuは変数に関わらず、全ての組合せの積の和だから計算可能

(y+z)²-yz+{1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4}

↓ 1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=35

(y+z)²-yz+35

↓後は残った変数y,zのみに数値をいれて計算

最小値はy=1,z=2 or y=2,z=1で42
最大値はy=3,z=4 or y=4,z=3で72
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この回答へのお礼

式の最初をそのように変形するのですね、どうも有難うございました。

お礼日時:2014/07/27 00:26

No.5です。

回答の末尾の誤記の訂正です。失礼しました。

誤:y^2+yz+z^2=7 だから最大値は合計42です。

正:y^2+yz+z^2=7 だから最小値は合計42です。
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図を描いて考えてみるとわかりやすいと思います。

下の図のx,y,z,uにそれぞれ1,2,3,4のどれかを入れると考えます。

ここでy^2+2yz+z^2+xy+zu+yu+xz+xuのうち、x,y,z.uから2つずつをとって作った積6個の和yz+xy+zu+yu+xz+xuは1.2.3,4をどのように入れ替えても変わりません。(図の青い線) この値は1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=35

変化するのは残りのy^2+yz+z^2だけです。(図の赤い線)

これが最大となるのは当然1,2,3,4のうち最大の4と2番目に大きい3をy,z(順不同)に入れた場合です。このときy^2+yz+z^2=37 だから最大値は合計72です。

y2+yz+z2が最小となるのは1,2,3,4のうち最小の1と2番目に小さい2をy,z(順不同)に入れた場合です。このときy^2+yz+z^2=7 だから最大値は合計42です。
「数学の最大値、最小値の計算問題です。」の回答画像5
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この回答へのお礼

図にもしていただいて、どうも有難うございました。

お礼日時:2014/07/27 00:32

まったくのクイズ問題で、ゲームですね。


 解法のよりどころ(作戦)はたとえば・・
すべて正の数のときm=a+b+cとn=a+b+dがあって
この2つを掛け合わせたmnを最大にするためには、n,mにある共通なa+bを最大にすればいいんじゃないかな。
だから高校で習った次数の低いxで因数分解すれば与式は
 x(y+z+u)+(y+z)^2+u(z+y)
=(x+y+z)(y+z+u)
と因数分解できる。
 この値を最大にするにはy+zを最大にすればいいので3と4を使って
  y+z=7とするからxとuがいやでも1か2を取ることになる。よって最大値は(7+1)(7+2)=72
 最小値も同じアイデアを使うから、考えてみてください。(大きい数を2か所では使わないこと)
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この回答へのお礼

どうも有難うございました。

お礼日時:2014/07/27 00:31

yz+xy+zu+yu+xz+xu は x, y, z u に対して完全に対称だから、


1, 2, 3, 4 をどう入れても変わりません。

これを計算すると

1x2+1x3+1x4+2x3+2x4+3x4 = 35

すると残りの y^2 + yz + z^2 は y と z に関して対称なので、4C2=6通り試せばよい。

y=1, z=2 ⇒ 7
y=1, z=3 ⇒ 13
y=1, z=4 ⇒ 21
y=2, z=3 ⇒ 19
y=2, z=4 ⇒ 28
y=3, z=4 ⇒ 37

以上から最小値 = 42, 最大値 = 72
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この回答へのお礼

6通りの計算も示していただいて、どうも有難うございました。

お礼日時:2014/07/27 00:30

与えられた式の値をSとすると、


S=(y+z)^2+u(y+z)+x(y+z)+xu
 =(y+z)(u+x+y+z)+xu
 =10(y+z)+xu
 =10(10-(x+u))+xu
 =(x-10)(u-10)
これが最大になるのはx,uに出来るだけ小さい数を入れたとき、つまり
x=1、u=2(あるいはその逆)のとき。
逆に最小になるのはx,uに出来るだけ大きな数を入れたとき、つまり
x=3,u=4(あるいはその逆)のとき。
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この回答へのお礼

なかなか浮かびませんでしたが、そのように因数分解できれば、後は楽ですね。どうも有難うございました。

お礼日時:2014/07/27 00:28

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