k>0とし、f(x)=x3乗-6xとする。xy平面上の
曲線C:y=f(x), 直線l:y=k(x-1)-5
の相異なる3つの交点をA1(a,f(a)),A2(b,f(b)),A3(c,f(c))とし、点Ai(i=1,2
,3)におけるCの接線とCの交点のうち点Ai以外の交点を点Ai’(i=1,2,3)とおく。このとき次の各問いに答えよ。
(1)点A1’の座標をaで表せ。
(2)3点A1’,A2’,A3’は同一直線状にあることを示せ。
です。お願いします。

A 回答 (1件)

この問題、直線lの細かい定義は余り関係無いんですよ。


要は3次関数と直線が3点で交わった時、各交点での接線と3次関数との交点3つが一直線上に並ぶと言う事を示す問題なんです。
だから解答にはy=k(x-1)-5は一度も出てきません。
グラフを書けば分かりますがk>0の時は必ず3点で交わります。だから3点で交わるよくらいに受け流して本質を付いて行きましょう。

それでは参ります。
(注:xの3乗はx^3と書きます。2乗も同様です。)

(1)
A1(a,f(a))での接線の方程式は
y=f(a)+f'(a)(x-a)
これと3次曲線y=f(x)との交点A1’のx座標は
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)
これにf(x)=x^3-6x, f'(x)=3x^2-6を代入して
x^3-6x - a^3-6a = (3a^2-6)(x-a)
(x-a)(x^2+ax+a^2)-6(x-a) = (3a^2-6)(x-a)
x≠aだから両辺をx-aで割って移項すると
x^2+ax-2a^2=(x-a)(x+2a)=0  ∴x≠aよりx=-2a
この時y座標は
f(-2a)=(-2a)^3-6(-2a)=-8a^3+12a
よってA1’の座標は(-2a, -8a^3+12a)
同様にA2’の座標は(-2b, -8b^3+12b)
A3’の座標は(-2c, -8c^3+12c)
となります。

(2)3点A1,A2,A3が一直線上に並んでいるので次の式が成り立つ。
(f(b)-f(a))/(b-a) = (f(c)-f(a))/(c-a)  …(a)
A1’,A2’,A3’のx座標をa', b', c'と一旦おくと
(f(b')-f(a'))/(b'-a') = (f(c')-f(a'))/(c'-a')  …(b)
が示せればいいことになります。
式(a)より
(f(b)-f(a))/(b-a) - (f(c)-f(a))/(c-a)
=((b^3-6b - (a^3-6a))/(b-a) - ((c^3-6c - (a^3-6a))/(c-a)
=(b^3-a^3 - 6(b-a))/(b-a) - (c^3-a^3 - 6(c-a))/(c-a)
=((b-a)(b^2+ab+a^2) - 6(b-a))/(b-a) - ((c-a)(c^2+ac+a^2) - 6(c-a))/(c-a)
=b^2+ab+a^2 - 6) - (c^2+ac+a^2) - 6)
=(b^2-c^2+a(b-c)=(a+b+c)(b-c) = 0
b≠cよりa+b+c=0
これを使って式(b)を示します。ダッシュ(')がついてること以外は全く同じ形なので
(f(b')-f(a'))/(b'-a') = (f(c')-f(a'))/(c'-a')
=(a'+b'+c')(b'-c')
ここでa'=-2a, b'=-2b, c'=-2cだから
=(-2a+(-2b)+(-2c))(-2b+(-2c)
=4(a+b+c)(b-c) = 0  (∵a+b+c=0)
よって3点A1’,A2’,A3’が一直線上に並ぶ事が示された。

ちょっと長くなってしまいましたね。これでも最短距離を走って来たつもりなのですが。
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この回答へのお礼

詳しく答えていただきありがとうございました。この回答を参考にして自分でも頑張ってみます。

お礼日時:2001/06/08 17:10

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(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

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があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

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Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

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#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

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s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
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(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
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s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
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という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
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このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
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本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
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おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

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Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
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=lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
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=lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
=2f ' (2x)

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

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y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
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fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

QX=loga(4/3),Y=loga(8/3),a>0,a≠1のとき,loga3をX,Yで表せ。

X=loga(4/3),Y=loga(8/3),a>0,a≠1のとき,loga3をX,Yで表せ。


この問題の答えはわかるんですが、やり方がわからないので教えてください


ちなみに答えは-3X+2Yです

Aベストアンサー

回答者のヒントで解決しなければ、ヒントを下にやったことを補足に書いてどこで行き詰まっているか、を質問しないと、いつまでも解決しませんよ。
やり方のヒントやアドバイスをもらえるだけですから、自力解答を作って補足に書いて、わからない箇所をきいて下さい。

解答を作るのは質問者さんであって、回答者ではありません。

ヒント)
XとYをloga(2)とloga(3)に分解して、
分解した2つの式からloga(2)を消去して下さい。
消去した式をloga(3)=...
の形に解けば答に至ります。

分からなければ、やった所までを補足に書いて、補足質問して下さい。


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