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点(3a、 3a^2+2a)をとおる二次関数のグラフがあります。

これの式を求めよ、という問題がでました。

■私の考え
まず、Y座標(3a^2+2a) / X座標の二乗(9a^2) を計算して、「比例定数」を求めました。
そうしてもとまった比例定数を使って、

【Y=「比例定数」・X二乗  】 という答えにしました。

■解答

X=3a
a=X/3 ・・・ とやってから、これをY座標の式に代入し、

Y=3(X/3)^2 + 2(X/3)a ・・・ という式を得ていました。


■ワタシの答えには、まだaが混じっているので、間違いのようですが、
それにしても、解答で、どうしてこのようなことをしているのか、理解ができません。

なぜ、X座標をいじって得られたa=X/3 を、 Y座標のaに代入すると、 これが二次関数の式となるのでしょうか?

A 回答 (5件)

質問者さんのやり方は、すくなくともa^2を含む項については合っているので、


aを含む項についても同じことをしてやればいいのです。

a^2を含む項の係数:(3a^2)/(3a)^2=1/3
aを含む項の係数:2a/3a=2/3

「模範解答」とやらも、やり方は間違っていません。
a=x/3をy=3a^2+2aに代入すると
y=x^3/3+2x/3

3a^2+2aをxの式で表したくて、a=x/3なので代入したというだけなんです
けどね。
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この回答へのお礼

わかりました~!

自分がつくった式に、

a=x/3 を代入したら、

答えとおなじになりました!

すごく助かりました。ありがとうございます!

お礼日時:2014/07/29 21:57

aがパラメーターのままで最後までまとわりついてしまうことと、戦略が読めなくなってしまったため、泥沼に陥ったのだと思います。

解答を理解したら、ご自身のとき方(比(のような割り算y成分/x^2)を用いようとした解法)を反省してみてください。アイデアは温めておきたいものですからね。

PS. 理解できたら次の問題にチャレンジしてみてください。
点(3a、 3a^2+2a)をとおる二次関数のグラフがあります。これの式を求めよ。
 というのを
"点P(3a^2、3a^2+2a)をとおるグラフがあります。この2次曲線の方程式を求めよ。"

ヒント。 式を見つけるのは簡単なのでしょうが、(xの定義域が正と、縛りが入ります。)
 しかしグラフが書けなくなります。(エクセルを利用(pのグラフを書くのです。)すればできるかもしれません。放物線(?)が右斜めに傾いたようなグラフになると思います。)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます!

PSの問題にもチャレンジしたのですが、
分母がxだらけになりました。

しかも分母にx^3まで登場したので、もうお腹いっぱいになりました ^^;

ご親切に、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/07/29 23:25

よく問題を読みましょう。

問題の意味が分かれば、半分解けたようなものです。
 aとはいったい何なんでしょうか。問題には、定数だと書いてありますか。
 おそらく書いていないでしょう。だとしたら、任意のaについてと解釈すると、2通りの解法が浮かびます。
 1つはNo1さんのような、恒等式とみて解く方法。
もう一つはaをパラメーターと見て解く方法。
です。
■解答
  X=3a
a=X/3 ・・・ とやってから、これをY座標の式に代入し、

 と、動点P(3a、 3a^2+2a)の座標をP(X,Y)とおいてXとYの関係式をつくるいわゆる軌跡の方程式をつくる、基本解法にすぎません。よく理解してください。
 あとあなたが比を取った、根拠をよく回顧してください。aが消えないから、正比例ではありません。
 PS. aを定点だと考えたとしたら、どう解きますか?
なぜ点(3a、 3a^2+2a)と書いてあって"定点"と書いていないのでしょうか?
疑問→Think→悟りです。問題の裏が見えてきますよ。
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この回答へのお礼

そうですよね…。
自分の知っているやり方で解いたら、aが残ってしまいました。
でも、aがあるかぎり、問題の答えにはなれませんもんね。

お陰で、納得できました。

どうも、ありがとうございました! 

お礼日時:2014/07/29 21:56

>■私の考え


まず、Y座標(3a^2+2a) / X座標の二乗(9a^2) を計算して、「比例定数」を求めました。
そうしてもとまった比例定数を使って、

【Y=「比例定数」・X二乗  】 という答えにしました。

比例というのは一次関数y=px+qのq=0の場合にのみ使えます。

2次関数では使えません。



>■解答

X=3a
a=X/3 ・・・ とやってから、これをY座標の式に代入し、

Y=3(X/3)^2 + 2(X/3)a ・・・ という式を得ていました。

まれにみるいい加減な回答ですね。答えは完全に間違っています。


素直にちゃんとやりましょう。

求める2次関数を

y=cx^2+dx+e

とおきます。

点(3a、 3a^2+2a)を通ることから

3a^2+2a=c(3a)^2+d(3a)+e=9ca^2+3da+e

係数を比較して

3=9c

2=3d

0=e

これらより

c=1/3, d=2/3, e=0

よって求める2次関数は

y=x^2/3+2x/3
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この回答へのお礼

ご回答、どうもありがとうございました!

これは代ゼミの模試です。

その模範解答が、上述のものです。

代ゼミも、どうやら間違いを犯すのですね!

本当に助かりました! 

お礼日時:2014/07/27 10:09

>【Y=「比例定数」・X二乗  】 という答えにしました。



質問者さんの答えでは、原点を通りますが、
問題文には「原点を通る」とは書いていないので、
正しくなさそうです。
ただし、

>ワタシの答えには、まだaが混じっているので、間違いのようですが、

aが混じるのは当然です。
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この回答へのお礼

模範解答には、Aが混じっていなかったので、そのように考えてしまいました。

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/07/27 10:10

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