定数係数常微分方程式の質問です。
関数y=y(x)について、
y''-2ay'+y=0 (-∞<x<∞) を考えます。
y=A exp(λx) とおき、得られた特性方程式を解いて
一般解を求めました。
以下、非自明解を考えます。
(1)a=0のとき、非自明解はすべて周期解となることを示せ。
オイラーの公式より 示すことができました。
(2)a>0のとき、非自明解は周期解を持たないことを
(i)0<a<1,(ii)a=1,(iii)1<a<∞の場合に分けて示せ。
との問題なのですが、いくら考えてみても、
(i)0<a<1のとき、e^iが残ってしまい、
周期解になってしまって、困っています。
どなたか数学に詳しい方がおられましたら、
よろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
特性方程式の解は
1)a=0のとき
λ=±i
y=be^(ix)+ce(-ix)=dcos(x)+esin(x)
これは周期2Πの周期関数です。
2)0<a<1のとき
λ=a±i√(1-a^2)=a±wi
y=be^((a+wi)x)+ce^((a-wi)x)=e^(ax)[be^(wix)+ce^(-wix)]=e^(ax)[dcos(wx)+esin(wx)]
これは[dcos(wx)+esin(wx)]は周期2Π/wの周期関数ですがe^(ax)により、
xとともに指数関数的に振幅が増加する関数で、yは周期関数ではありません。
3)a=1のとき
λ=1(2重解)
このとき
y=(b+cx)e^x
という解になり周期関数ではない。
4)a>1
λ=a±√(a^2-1)=a±a'
y=be^((a+a')x)+ce^((a-a')x)
これは2つの指数関数の和であって、周期関数ではありません。
No.1
- 回答日時:
おそらく 0<a<1 のときに、特性方程式が複素共役な根を持つため "e^iが残ってしまい" とおっしゃっているのですね。
0<a<1のとき、あなたは y がどのような周期を持つと考えたのですか。
以下はあなたの勘違いの箇所を推測したものです。「そこじゃない」という場合は補足でどうぞ。
特性方程式が複素共役な根を持つ場合、
複素共役な根を r + si, r - si (r, s は実数)として、解
y(x) = A exp((r + si)x) + B exp((r - si)x)
はどのような周期性を持つでしょうか?
例えば、
y(x) = exp(rx) { A exp(six) + B exp(- six) }
と纏めてみると x = 2π/s という周期をもつように思われるかもしれません。しかしexp(rx)という因子のため
y(x+2π/s) = exp(2πr/s) y(x)
となって、定数倍ずれてしまい、これは完全な周期にはなりません。
あるいは、A≠0, B = 0 であるような特殊解
y(x) = A exp((r + si)x)
について、2πi/(r + si) が周期になるということでしょうか?
実際、x を複素変数とした場合 2πi/(r + si) (の整数倍)は周期になります。
ただし、今は(-∞ < x < ∞) とあるように定義域を実数と考えているので、周期も実数でないといけません。そして周期が実数となるのは、根 r + si が純虚数である場合、すなわち a = 0 の場合に限ります。
まさにsunflower-sanの推測通りの(私の)勘違いでした。
すごく長い間悩んでいたので、
とても助かりました。
本当に有難うございました。
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