次の問題を教えてください。

3種類の文字A,B,Cを繰り返し用いて,同じ文字が隣り合わないように左から横一列にn(n=1,2,・・・)個並べて文字列を作り、これをMnとおく。このとき、次の各問いに答えよ。
(1)文字列Mnは何個作れるか。
(2)文字列Mnのうち,右端の文字がAであるものの個数をanとおく。このとき、anをnで表せ。
です。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1)


  1番左は、何を置いても差し支えないから3通り、
  その右は、左と異なるように置いていけばいいから2通り
  よって、Mn=3×2^(n-1)

(2)
  (1)のうちの、左端がAであるものを考え、並べ終えたうち、
  左右を一斉にひっくり返せばいいから、
  an=2^(n-1)

です。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。この回答を参考にして頑張ってみます。

お礼日時:2001/06/08 17:07

多分、masuo_kunさんの答えでいいと思います。


でも、漸化式の問題かな?とあるので、
一応(2)を漸化式を使って考えてみました。

右端にAがくるのは、右から二番目がA以外の時。
よって、漸化式a_n+1_=3*2^(n-1)-a_n_
変形して、a_n+1_-1/2*2^(n+1)=-(a_n_-1/2*2^n)
ここでb_n_=a_n_-1/2*2^n とおくと、
a_1_=1 より
b_1_=0
よって、b_n_=0*(-1)^(n-1)=0
したがって、a_n_=1/2*2^n=2^(n-1)

注:_n_のように_で囲まれた文字は添字を示しています。
 また、*は乗法の記号、/は除法の記号です。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。この回答を参考にして頑張ってみます。

お礼日時:2001/06/08 17:06

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QAn={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)について…(続く)

【問題】An={1+(1/n)}^n (n=1,2,3,…)につい数列{An}は単調増加であることを示せ。すなわちAn<A(n+1)を示せ。またAn<3であることも示せ。
(※ただし,二項定理を利用せよ。)
よろしくお願いします。
二項定理にあてはめてみたのですが…そっからさっぱりです^^;

Aベストアンサー

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
ここで、
1/n!=1/1*2*3*・・・*n<1/2^(n-1)
ですから、
An< 1 +1+1/2^(2-1)+1/2^(3-1)+・・・+1/2^(n-1)
= 1 +{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
= 1 +2{1-(1/2)^n}
= 3 -(1/2)^n
< 3
となります。
limをとってやれば、自然対数の底e<3であることが分かりますね。
また、A1=(1+1/1)^1=2であることから2<eでもあります。
e<3を示す時に、もう少し精度を増してe<2.75にすることもできます。

AnとA(n+1)を二項展開したものは次のようになります。

An=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
A(n+1)=1+1+1/2!*{1-1/(n+1)}+1/3!*{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・

ここで、対応する各項の括弧内を比較しますと、どの項においてもA(n+1)の方が大きくなっています。つまり、自然数mに対して、
(1-m/n)<(1-m/(n+1))
ですので、
A(n+1)>An
であることが分かります。
次に、3より小さくなることについてです
An=1+1+1/2!*(1-1/n) +1/3!*(1-1/n)(1-2/n)+・・・
 <1+1+1/2!+1/3!+・・・+1/n!
...続きを読む

Qa1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して

a1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して
(1) a2 n+1-a2n = an -an-1 が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
(2) an<2 となることを示せ
(3) lim an を求めよ
うまく数列の小さい文字(aの右下の1とかn)が打てないので ワードで書いたものを添付します。あと、√の中には1+anまで入ります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1) より前に、(2) を兼ねて、
0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、
話の流れがスムースかもしれません。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。

(*) Bolzano-Weierstrass の定理
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c5327a4480f1694a1c9.html

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
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任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます...続きを読む

Q7個の文字F,G,G,I,I,U,Uを横1列に並べる。このとき、以下の

7個の文字F,G,G,I,I,U,Uを横1列に並べる。このとき、以下の問に答えよ。
(1)「GIFU」という連続した4文字が現れるように並べる方法は何通りあるか?
(2)「GI」,「FU」という連続した2文字がともに現れ、少なくとも1つの「GI」が「FU」よりも左にあるように並べる方法は何通りあるか?

(1)は(GIFU)GIUだから4P4
よって24通りとしました。
しかし、先生は「そのやり方だと次が分かりにくくなるから、「GIFU」の置く場所で場合分けして考えろ」と言っていました。
場合分けは4つで、残りの3文字の並べ替えですから、3P3*4=24
です。

しかし、どちらにせよ(2)がわかりません。
先生のやり方だと、今度は「FU」の置き場所で場合分けして考えるらしいのですが。
また他のやり方もありましたら、教えてください。

ちなみに、前の質問と同じで、「解答」はいりません。
問題の考え方、見方を教えてください。

Aベストアンサー

「GI」「FU」が現れる並べ方は、残りのGIUの3文字に「GI」が含まれるか含まれないかに分けて考える必要があります。
つまり「GI」が1つだけ含まれる場合と2つ含まれる場合です。

それぞれの場合で、「GI」が「FU」よりも左にある場合を数えてみましょう。

Q10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,af(n)

10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,af(n)とします。これらの約数の10を底数とする対数をとり、さらにそれらの和を計算したとき、2010を超えるのは、nがいくつのときでしょうか

Aベストアンサー

10^n=2^n*5^n
なので、10^nの約数は、
2^i*5^j (i=0,1,2,・・・,n、j=0,1,2,・・・,n)

それら約数の対数の和Sは、
S=Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]log(2^i*5^j)
=Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]{i*log2+j*log5)}
=(Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]i*log2)+(Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]j*log5)
=(n(n+1)^2*log2/2)+(n(n+1)^2*log5/2)
=n(n+1)^2(log2+log5)/2
=n(n+1)^2/2

n=15のとき、S=1920
n=16のとき、S=2312
より、求めるnは
n=16

Qa_1=1, a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3,,,

a_1=1, a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3,,,)のときの lim(n→∞)a_n をもとめよ。
途中し式も詳しく教えてください

Aベストアンサー

a_1=1
a_n≧1とすると
(a_{n+1})^2=a_n+1≧2
a_{n+1}≧√2>1

x^2=1+x
x=(1+√5)/2>1
a_{n+1}+x>2
(a_{n+1})^2-x^2=a_n-x
(a_{n+1}-x)(a_{n+1}+x)=a_n-x
|a_{n+1}-x|=|a_n-x|/(a_{n+1}+x)<|a_n-x|/2

|a_2-x|<|a_1-x|/2=(√5-1)/2

|a_{k+1}-x|<(√5-1)/(2^k)とすると
|a_{k+2}-x|<|a_{k+1}-x|/2<(√5-1)/(2^{k+1})

|a_{n+1}-x|<|a_1-x|/(2^n)

ε>0に対して (√5-1)/ε<n0 となる n0があり
n>n0 ならば |a_{n+1}-(1+√5)/2|<(√5-1)/(2^n)<(√5-1)/n0<ε
lim_{n→∞}a_n=(1+√5)/2


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