有界閉区間であることの証明

Question

閲覧ありがとうございます。
以下の問題が分かりません。

http://i.imgur.com/NCS1q3U.jpg

恥ずかしながら、どのように解けばいいか、解答の方針すら立たない状況です。
特に、iに関しては証明するまでもなく当たり前ではないか？と思ってしまいます。

分かる方、どうか教えていただけないでしょうか。解説の方、よろしくお願いいたします。

superkeroyon · Accepted Answer

定義域の端点が、値域の最大・最小に対応したりする場合は、イメージしやすいし、そうでなくてもグラフを描けば、正しいだろうという検討はつきますね。ただ、証明は別ですから、、。

定理をいくつか使ってよいなら、次のステップですぐ証明は出ます：
有界閉区間Iはコンパクトである。
コンパクト集合から実数の集合への連続関数は、最大値a、最小値bをもつ。
a=bなら、特殊な有界閉区間。そうでないとすると、
aとbとの間の任意のcに対して、中間値の定理より、f(x)=cとなるIの元xが存在する。
よって、f(I)=[a,b]となるとか、、、。

使える定理からあまりすぐ証明できると練習にならないので、例えばR^nの有界閉区間I（各座標軸で有界閉区間の直積集合）上の連続実数値関数fの像f(I)は有界閉区間になることを証明せよ、、、くらいがいいかもです。もっと一般的に定義域がコンパクトで連結の時、、、くらいにしても（結論は正しいですか？）、位相の練習問題ならいいかもです。

Tacosan · Answer

ごめん, 「その地域も端点が必ず含まれますよね」の意味がわからない. 「端点」ってなに?

ほら, そう考えるとだんだん「当たり前」じゃなくなる....

ddtddtddt · Answer

当たり前と言えば当たり前の事なんですけどね。だけど当たり前だったら、証明してみせてくれ、ってのが数学でもあります。

有界閉区間Ｉは両端点a，bを含むから、f(a)とf(b)が存在する。存在するからには有限なのでf(I)も有界閉区間に決まってる。こんなイメージだと思いますが、しかしf(a)やf(b)が、f(I)の最大値や最小値であるとは限りませんよ。またfがI上で最大・最小値を持つ事も、まだ証明されていません（持ちますが）。証明されてない限り使うのはまかりならん！、というのも数学です(^^；)。

例えばf(I)に穴があいてたら、それは区間ではありませんし、穴の両端が点抜けしていてf(I)は閉区間の和ですらないかも知れません（そんな事は起こりませんが(^^；)）。

しかしこう考え出すと、論理的にはあまり当然の事ではないのがわかってきます。そして普通の感覚を押し通そうとすると、無限個の場合分けが必要だと気付いたりします。

そのとき役に立つのがやっぱり、閉集合と集積点と連続関数の定義なんです。これらの定義に忠実に従えば、f(I)が閉集合である事が証明できます。どのように従ったら良いかは、教科書や講義でやったと思います・

そしてf(I)が閉集合なら、実数直線上の話である事から、f(I)が区間で有界である事は、後から付いてきます。そしてf(I)が有界閉区間なら、fがI上で最大・最小値を持つ事が、逆に明らかになります。

Tacosan · Answer

「証明するまでもなく当たり前」, ですか.

どうして「当たり前」なんですか?

有界閉区間であることの証明

定義域の端点が、値域の最大・最小に対応したりする場合は、イメージしやすいし、そうでなくてもグラフを描けば、正しいだろうという検討はつきますね。

ごめん, 「その地域も端点が必ず含まれますよね」の意味がわからない. 「端点」ってなに?

当たり前と言えば当たり前の事なんですけどね。

「証明するまでもなく当たり前」, ですか.

この回答への補足

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　当たり前と言えば当たり前の事なんですけどね。