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問)Solve dy/dx = (10x – 1) / (4 + 3y²)

模範解答と模範途中式)∴ (4 + 3y²) dy/dx = (10x – 1)
∴ ∫ (4 + 3y²) dy = ∫ (10x – 1) dx
∴ 4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2 (ア)(タイプ出来ませんでしたがこのCについている1,2は小さいです)
∴ 4y + y³ = 5x² – x +C (イ)
∴5x² - y³ = 4y + x – C (ウ)
∴5x² - y³ = 4y + x +A (エ)

理解出来ないのは何故 何故 イ)で C がひとつになるのですか? 最終的に C は一つにならないといけない、とは思うのですがどうやって処理するのですか? C2 - C1 は2-1だからCがひとつだけ残るのですか?

エ)で何故 C が A に変わるのですか?

どなたか教えて頂けますか?

A 回答 (3件)

(ア)→(イ)について



「2-1だからCがひとつだけ残る」わけではありません。

まず(ア)の段階では 問) の微分方程式を解いた結果、C1, C2 はどのような数であっても 問)の微分方程式を満たす、ことが導かれました。
しかし、
(1)「4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2,  ただしC1, C2 は任意にとってよい」
というのは何も両辺に定数を振り分けて書かなくても
(2)「4y + y³ = 5x² – x +C,  ただしC は任意にとってよい」
というのと同値です。
むしろ(1)の言い方だと、
4y + y³ +3 = 5x² – x +7

4y + y³ +4 = 5x² – x +8
も同じ解を与えますので表記に冗長性がありますよね。
(2)の書き方だと、
4y + y³ = 5x² – x +4
となり、同じ解に対して表し方は一通り(冗長性のない表し方)になりますよね。

(ウ)→(エ)について

問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか?
そうでなければ、単に任意定数の部分をマイナスで表記したくなかったから、A = -C とおいてプラスで書きなおしたというだけだと思います。
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この回答へのお礼

>問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか?

いえ、u-tube からの問題でこれ以上の条件はありませんでした。

詳しくいろんな事を説明して下さり助かりました。
有難うございました。

お礼日時:2014/07/30 14:25

C2-C1=C とするだけです。

単なる置き換えです。
C2 と C1 も任意定数なので、まとめて1個の任意定数にしても問題ありません。

また A=-C なのでしょう。

なぜわざわざ置き換えるのか不明ですが・・・
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この回答へのお礼

単なる置き換えと聞いてホットしました。有難うございました。

お礼日時:2014/07/30 14:23

C1-C2だろうが、-Cだろうが、「定数」であることは同じなので、


改めて書き直しているだけですよ。
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この回答へのお礼

わかりました、考えすぎた様です。 
ご解答頂き有難うございました。

お礼日時:2014/07/30 14:22

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