q=86474で質問した3つの設問の3つ目です。


xnの値がνとなる確率が次の式で与えられる。
P(xn=ν) = (ν^n - (ν - 1)^n)/N^n  (1≦ν≦N)
この時、xnの期待値E(xn)を求めよ。


という質問です。

自分なりに考えた所までを書きますね。
E(xn) = Σ(ν=1~N) ν(ν^n - (ν - 1)^n)/N^n)
=Σ(ν=1~N) (ν^(n + 1) - ν(ν - 1)^n)/N^n
={N^(n + 1) - N(N - 1)^n + (N - 1)^(n + 1) - (N - 1)(N - 2)^n + ... + 1^(n + 1) - 1*0^n}/N^n
=[N^(n + 1) - {(N - 1)^n + (N - 2)^n + ... + 1^n}]/N^n
=N - 1/N^n Σ(k=1~N-1) (N-k)^n

この辺りで詰まってしまいました。最後の式のΣが解けるとすると一般的に
Σ(k=1~N) k^n
がとける事になる気がするのですが、
1 + 2 + ... + N = 1/2 * N(N+1)
1^2 + 2^2 + ... + N^2 = 1/6 * N(N+1)(2N+1)
までは高校で習いましたがそれより高次が一般的に解けるのかなーと言うのが疑問です。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

B1,B2についてはq=86477と同じ方法ででます。



高木貞治著「解析概論(改訂第3版、軽装版)」岩波書店
という本はご存知でしょうか。
いろんなことがのっています。名著です。
私が買ったときは2600円でしたが
このボリュームとこの内容で2600円はめちゃくちゃ安い、
と最近では思っています。
taropooさんの質問されたことはほとんど全てのっているという
すごい本です。
とりあえずこの本のp.231からp.234を見てください。

私はこの本を何かわからないことがあったら見るって感じで
辞書代わりに使っています。買っても損しないと思いますよ。
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この回答へのお礼

早速買っちゃいました。

たまたま立ち読みした数学セミナーのある記事の中でも絶賛されてました。
メインをこの本に切り替えて、今使ってる教科書はその後の復習で使おうかなんて考えてます。

ご紹介ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/09 16:44

q=86474では、勘違いをしていました。


無責任なことを書いてしまい申し訳ありません。

taropoo さんの予想通り、Σ(k=1~N) k^n が分からないと
この問題は解けません。
n 乗和の公式があります。(n=1,2のときはtaropoo さんの書かれている通り)
この公式、ベルヌーイ数を使います。
z/(e^z-1)=Σ(n=0~∞)(Bn*z^n)/n!   (|z|<2π)
で、ベルヌーイ数Bnを定義し、
ze^(zx)/(e^z-1)= Σ(n=0~∞)(Bn(x)*z^n)/n!
で、ベルヌーイ多項式Bn(x)を定義します。
B0(x)=1, B1(x)=x-1/2, B2(x)=x^2-x+1/6, .... となっています。
すると、

1^n+2^n+3^n+...+(k-1)^n = (B(n+1)(k)-B(n+1))/(n+1)

が成り立ちます。
これで、解決!だといいのですが。

この回答への補足

また出てきましたねー、ベルヌーイ。これは要チェックかも。

さて本題。

> z/(e^z-1)=Σ(n=0~∞)(Bn*z^n)/n!   (|z|<2π)
と定義した時、B1, B2はどうやって求めればいいのでしょう?

さらに
> ze^(zx)/(e^z-1)= Σ(n=0~∞)(Bn(x)*z^n)/n!
と定義した時、B0(x)=1, B1(x)=x-1/2, B2(x)=x^2-x+1/6, ....はどう導出するんですか?

最後、
> 1^n+2^n+3^n+...+(k-1)^n = (B(n+1)(k)-B(n+1))/(n+1)
これは何故ですか?きっとベルヌーイ多項式の色々な性質を知っていないとこれは導けないですね。

どうもq=86477と併せて、ベルヌーイ数とかベルヌーイ多項式についてちゃんと勉強しておく必要を感じてきました。
今日図書館で関係ありそうな本を物色してきたのですがいいのが見つかりませんでした。
お勧めの本とかありませんでしょうか?

補足日時:2001/06/08 20:17
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左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
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1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定積分を利用する方法があります。

anを、定積分∫[1,n+1]dx/√x, ∫[0,n]dx/√x で、
bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

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とし、A/D≦an/bn≦B/C
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QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

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なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
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F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
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,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x


で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2

となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

偶関数だからというより、nが偶数のとき
 b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

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教えてください。

Aベストアンサー

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r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


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