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回転楕円体の方程式を算出しようとしています.

3次元空間上において,ある2点,F(a1,b1,c2),F'(a2,b2,c2)を考えます.
この2点からの距離の合計が等しい点を,P(x,y,z),FP+F'P=L1とします.

この場合,F,F'の中点(a3, b3,c3)を中心とした回転楕円体となり,以下の式になるかと思います.

(x-a3)^2/A^2+(y-b3)^2/B^2+(z-c3)^2/C^2=1

ここで,B=Cで,短軸と考えた場合,2A=L1より,A=L1/2.
中心から,FまでのよりをL2とした場合,3平方の定理より,B=sqrt(A^2-L^2).

となるかと思うのですが,あっているでしょうか?

手元の幾何学の成書がなく,ご指導頂けると助かります.

A 回答 (1件)

回転楕円体の軸が x, y, z の各軸と平行じゃなかったらそもそも


(x-a3)^2/A^2+(y-b3)^2/B^2+(z-c3)^2/C^2=1
って形にはなりえないよね.
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Q6点からの楕円の近似計算(最小二乗法、xyz次元)

みなさん、こんにちわ。
楕円についてプログラムしないといけなく、わからない点が多いので質問させてください。
ある6点(座標はxyz)からxyz楕円の最小二乗法をプログラムすることは可能でしょうか?この掲示板の「楕円のプログラム」を参考にするとある5点以上の測定点からxy座標(2次元)のグラフにすることは可能であると書いてあり、納得しました。
分からない点はxyzの楕円の基本方程式です。
なお、使用する環境はc言語です。参考になるサイトなどありましたら教えてください。

Aベストアンサー

ちょっと訂正&補足です.


> 合計8自由度ですから,8点以上ないと決定できないと思います (いまいち自信不足).

直観的に考えてみると,5点以上あれば決定できるはずですね.m(_ _)m
ただし,この5点は同一平面上にないといけませんが.
そのことが自由度にどう影響しているのか,
また「3次元空間内の平面図形」ということがどう影響しているのか,
別途考え直してみます.

自由度 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6


3次元空間内の楕円に直接最小自乗法を適用すると,計算がとても大変そうなので,
次のようにした方がよいかもしれません.

(1) 与えられた点から,楕円が存在する平面を最小自乗法で決定する.
(2) 与えられた点の座標を上記の平面の座標に変換する.
(3) 平面座標から最小自乗法で楕円を決定する.

Q数学の問題です (回転楕円体)

数学の問題についてです。

今、個人で高校生の家庭教師(近所絡みのアルバイト)をしていて、
先日高校の春休みの宿題(先生の手作りプリント?)を見たのですが、

(x^2 / a^2) + (y^2 / 4a^2) = 1 の楕円を
y軸まわりに回転させたときにできる表面の方程式を求めよ

という問題がわかりませんでした。

http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-1/4-1.html

上記URL先を参照する限り

{ (x^2 + z^2) / a^2 + (y^2 / 4a^2) = 1

が回転楕円体の表面の方程式だと思うのですが、導出過程が
わかりません。

どなたか導出過程から解説をお願いいたします。

Aベストアンサー

#1です。

うっかり、
>x^2 + z^2 = a^2 - y^2
の最後に「/4」を付け忘れてたので(気づかれたとは思いますが)
質問していただけて、ちょうどよかったです。

>下の説明の方が理解してもらえそうな気がしますが、
>試験等で解くときは上の説明の方を書いた方が良いでしょうか?

う~ん、入試や模試なら、説明の筋が通っていれば、どっちでも構わないと思うのですが、学校のテストだと、先生の好みとかもあったりするので、気になるなら、先生に聞いた方がいいかも。

>また、積分は使わなくてもこの問題は解けるのかと聞かれたのですが
>積分を利用して解く方法があれば教えてください。
>(積分を用いる場合、表面積や体積を求める方法しか分からないので…)

方程式を、積分で求める? 円とか球の方程式を積分で求めるような手が
あれば、それを応用すれば、と、思いますが、さすがにそういう手はない
と思います。

逆に、体積を、積分使わずに求めるのであれば、
半径aの球の体積が、(4/3)πa^3、
この回転楕円体は、それを、y軸方向「だけ」に
2倍に引き伸ばしたものだから、
体積は、2倍の、(8/3)πa^3、

こういう話がうまく伝わらなかったんじゃないでしょうか?

#1です。

うっかり、
>x^2 + z^2 = a^2 - y^2
の最後に「/4」を付け忘れてたので(気づかれたとは思いますが)
質問していただけて、ちょうどよかったです。

>下の説明の方が理解してもらえそうな気がしますが、
>試験等で解くときは上の説明の方を書いた方が良いでしょうか?

う~ん、入試や模試なら、説明の筋が通っていれば、どっちでも構わないと思うのですが、学校のテストだと、先生の好みとかもあったりするので、気になるなら、先生に聞いた方がいいかも。

>また、積分は使わなくてもこの問題は解け...続きを読む


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