【問題】 (x1)^3 + (x2)^3 + ・・・ +(xn)^3 が6で割り切れるとき、
 x1 + x2 + ・・・ + xn も6で割り切れることを証明せよ。但しxkは自然数。 (x1は xかける1 じゃなくて えっくすわん です)

  
 んで、解答はあるんだけど、自分で解こうと思ったときに「こんなんじゃ駄目かぃな」と思って考えてたんですけど、やっぱ駄目でした。もしこの考え方で解けるなら続きをお願いします。

 【自分的解法】f(xk)=(x1)^3 + ・・・ +(xn)^3 とおくと
 
 f’’(xk)=6(x1 + x2 + ・・・ + xn) (以下不明)

  全くの見当違いだと恥ずかしいんですが、このまま解けたらなんか問題集の解答に勝った気分になれるので・・・。

  見当違いだったら 「全くの見当違いです。解答の通りときなさい」と一言お願いします。

 

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A 回答 (5件)

単刀直入に、


Xkは全て定数ですから、微分したら0になると思いますがいかがでしょう?
2回微分を知っているのですから、
x1~xnが自然数(不連続)ですから、微分可能ではないですよね?
また、百歩譲って微分できたとしても、
例えば、n=3のときは、元の関数(?)の、
x1,x2,x3の間には関係式は存在しない(6の倍数ということだけ)
ですから、
y=s^3+t^3+u^3
という関数を、なんだかわからないxで微分するのって、
まずいですよね?

言い換えれば自然数の数列a1,a2,a3ということですから、
親玉(?)のxという文字にだまされて微分してはいけないと思います。

具体的な証明は書きませんが、よろしいでしょうか?
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この回答へのお礼

 あら、見当違いもいいとこですね。まだ微分も微妙にできてないもんで・・・

  ま、解答通りに解いていきます。ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/10 20:50

すいません。

回答はあるんですね。
うっかり読み飛ばしてしまいました。
ねむたい時間だったと言うことで許してください。
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すいません。

訂正です。
1番目のΣは(1≦i≦n)
2番目のΣは(1≦i<j≦n)
3番目のΣは(1≦i<j<k≦n)
です。
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Σ(xi)^3


=(Σxi)^3-3Σxixj(xi+xj)-6Σxixjxk
と式変形できます。ただし
1番目のΣは(1≦i≦n)
2番目のΣは(1≦i≦j≦n)
3番目のΣは(1≦i≦j≦k≦n)

2番目のΣの中の式xixj(xi+xj)はxi,xjにかかわらず常に偶数です。
これはxi,xjの偶奇で場合分けすれば簡単に出ます。
よってΣ(xi)^3が6の倍数ならば(Σxi)^3も6の倍数になります。
即ち、Σxiも6の倍数となります。

これは対称式と呼ばれる類の問題ではないかと思います。
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あまりにきつかったのでフォロー入れます。



教科書どおりでない解きかたを考えるという作業そのものは、
非常に大事なことなので、
そういう姿勢は大切にしてください。
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この回答へのお礼

 あっ、生まれついてアマノジャクなもので・・・。特に数学は色んな解き方考えてしまいます。 見当はずれはしばしばですが、たまに自己流で解けると、また数学が面白くなります。
 どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/06/10 20:52

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