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線形代数での連立方程式についてです。

今現在線形代数を勉強しているのですが、未知数より方程式の数が多いときはどうなるのでしょうか?
解は一つに定まるか不定になる思うのでしょうか。。。。

なぜなら
Guass elimination で計算すると、たとえば

(1) (2)
1 2 | 3 1 2 | 3
0 1 | 2 0 1 | 2
0 0 | 0 0 0 | 2

(1)のような場合だと解が一つに定まり、(2)なら不定だになると思うからです。

しかし、ネットで検索すると以下のサイトで、”方程式の個数が未知数の個数よりも多い連立1次方程式は,一般には解が存在しない.”とありました。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra …

なぜでしょうか?

A 回答 (2件)

「一般には」です。

すべてそうなるわけではない。
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連立方程式


2x+y=4
3x-y=1
を考えてみます。代数的に計算することもできますが、
y=-2x+4
y=3x-1
と変形して、方眼紙上に2本の直線を描くことで、直線の交点が答えとして得られます。
未知数が2つなのに式が3本あったらどうなるでしょうか?方眼紙上に3本の直線を描くことになります。
交点が1つなら答えがあることになりますが、交点が2つ、3つになったらどの交点を答えにしたらいいかわからなくなりますよね。
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Q未知数の数と必要な方程式の数が等しい理由

未知数の数だけ方程式の数が必要なのはなぜでしょうか?またこのことは確かなのでしょうか?
未知数が二つあれば方程式が二つ必要、ということには、今まで何の疑問もなくそうのように考え、今までそれでやってきました。しかし、今頃になって、本当に良いのだろうか思うようになりました。考えてみると、未知数二つに対して方程式一つでは、解けませんし、二つあれば確かに解けそうです。二つの方程式が適切なものあれば解けそうです。このことは、いままでみんながそうしているから間違いないだろう、自分の経験でも確かにそうだから、と思っていました。しかし、未知数の数だけ方程式の数が必要ということの理由や、それで大丈夫という証明は教わったことがないような気がします。馬鹿な疑問かもしれませんが、なにか教えていただけれると助かります。

Aベストアンサー

証明は簡単です。
N個の未知数を含むN個の方程式の任意の一つを取り出すと、これによって一つ未知数を消去できますね。これをN-1個の方程式について行なうと最後に残った方程式の未知数は一つとなり、これからその未知数の価を求めることができます。あとは消去した逆をたどれば残りの未知数も求められることになります。
 ただしN個の方程式を用意するというのは解くための必要条件であり、十分条件ではないことに留意してください。解けない場合があるのです。それはN個の方程式の中に他の方程式を足したり引いたりすると、その方程式になってしまうものが紛れ込んでいる場合です。一次連立方程式のときにはこれがときどき起こりますから用心してください。

Q未知数の多い連立方程式

未知数が9個ある連立方程式を手計算で解きたいのですが、スムーズに解ける方法があれば教えて下さい。

Aベストアンサー

たった未知数3個の連立方程式を手計算で解を求めるのすら、面倒だと思いませんか?

#1の方の場合の付け足しで、行列式を計算するのもたいへんです。
#2の方「掃き出し法」のプログラムを組まなくても、せめて、Excelくらい使ったほうが良いと思います。

方法は、適当に「エクセル」「連立方程式」などで検索すれば、結構、引っかかりますよ。

Qなぜ未知数の数だけ方程式が必要なのか

未知数が複数ある場合、その未知数の数と同じだけの数の方程式が必要になりますよね。
これについて、中学校で連立方程式を習ったときから何も疑問を持たずに問題を解いてきましたが、最近ふとこのことについて疑問に思うようになりました。
なぜ方程式が複数必要なのか、またできれば証明方法も教えていただけるとうれしいです。
私、現在高校1年ですので、申し訳ないのですができればそのレベルの知識で理解できる回答をお願いします。
お時間のあるときで構いませんので是非ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

例えば未知数が3個(a,b,c)あったとします。
ひとつ方程式があれば、ひとつの未知数(a)を、残り2つの未知数(b,c)で表せますね。
それを残りの2つの式に代入すれば、未知数2つ(b,c)、式2つの方程式になります。

残りの式の1つから、1つの未知数(b)を残りの未知数(c)で表せます。
それを残りの式に代入すると、未知数1つ(c)、式1つの方程式になります。
これは、「c=」の形にすれば、値が出てきます。
cが出てくれば、芋づる式にaもbも値が出るので解けます。

これを、一般化すれば証明できそうですね。
未知数の数をn、式の数がnとします。(nは自然数)
「n=1のとき解ける。」
「n=kの時解けるならば、n=k+1の時も解ける。」
⇒よって、nが何であっても、n個の未知数、n個の式なら解ける

という感じで証明できそうです。

(これは厳密な証明ではないことを付け加えておきます。
あくまでも内容の理解を目的として書きましたので。)

Q統計学的に信頼できるサンプル数って?

統計の「と」の字も理解していない者ですが、
よく「統計学的に信頼できるサンプル数」っていいますよね。

あれって「この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる」という決まりがあるものなのでしょうか?
また、その標本数はどのように算定され、どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断できるのでしょうか?
たとえば、99人の専門家が信頼できると言い、1人がまだこの数では信頼できないと言った場合は信頼できるサンプル数と言えるのでしょうか?

わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要なサンプル数は、比べる検定手法により計算できるものもあります。
 最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低6つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
 また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、A国とB国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「t検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

 具体的に例示してみましょう。
 ある集団からランダムに集めたデータが15,12,18,12,22,13,21,12,17,15,19、もう一方のデータが22,21,25,24,24,18,18,26,21,27,25としましょう。一見すると後者のほうが値が大きく、前者と差があるように見えます。そこで、差を検定するために、t検定を行います。結果として計算上差があり、前者と後者は計算上差がないのにあると間違えて判断する可能性の許容値(有意確率)何%の確率で差があるといえます。常識的に考えても、これだけのサンプル数で差があると計算されたのだから、差があると判断しても差し支えないだろうと判断できます。
 ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率5%、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

 一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
 例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
 一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
 そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

 あと、お礼の欄にあった専門家:統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
 ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20~30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低6~8のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
 調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
 何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要な...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q正方行列の逆行列と一般化逆行列の違い

今まで,逆行列を考えるときには,対象となる行列は正方行列でした.
しかし,一般化逆行列というものがあって,対象とする行列は正方行列で
なくても良いみたいなのですが,そうすると,逆行列を考えるときには
正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?
また,正方行列の逆行列と一般化逆行列の違いは何でしょうか?
一般化逆行列ではどのように逆行列を求めるのでしょうか?
ネット上を調べましたが,詳しく分からなかったため質問させて頂きました.
御存知の方は,教えてください.

Aベストアンサー

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、

  x=A^(-1)・b   (1)

と解が決まります。しかし応用上は、n=mとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ~、というのが、たぶん事の発端です。
 n>mとします。この場合 x の次元はmで、bの次元はnとなり、条件過多になります。
 このような場合、とんでもない幸運により、解 x が存在する時もありますが、存在しない時の方が普通です。しかし応用上は、なんらかの近似解は必要になります。そこで残差ノルム最小条件、

  |b-Ax|^2=最小

をたいてい使います。これによって定まる x は一意です。具体的には、

  A^T・Ax=A^T・b

と変形します(^Tは転置です)。A^T・A は、Aのランクがmならmになり、det(A^T・A)≠0 です。従って、残差ノルム最小条件下での解は、

  x=(A^T・A)^(-1)・A^T・b

となり、(A^T・A)^(-1)・A^T は、n>mの時のAの一般逆行列の一種です(#2さんの最小二乗型)。
 参考書ですが、#1さんの「伊理正夫,一般線形代数」は、厚くて高いけど良書です。私は、次の本を紹介します。

 線形代数―行列とその標準形 (シリーズ新しい応用の数学 16) (単行本),伊理 正夫 (著), 韓 太舜 (著)

 この本は、「伊理正夫,一般線形代数」より(いくらか)薄くて安くて簡単です。一般逆行列について、系統的に書かれた本は、日本語ではこれくらいだろうと思います。

>正方行列であるという縛りはかからず,どんな行列でも良いと考えていいのでしょうか?

 いいです。具体例が一個あるとわかりやすいと思います。線形代数のほとんどは、連立方程式がらみです。連立方程式、

  Ax=b

において、Aがn×mで、n=m かつ detA≠0 なら、A^(-1)があるので、

  x=A^(-1)・b   (1)

と解が決まります。しかし応用上は、n=mとは限らない時も、けっこうあります。そのような時でも、(1)の形に解が書けたら便利だよなぁ~、というのが、たぶん事の発端です...続きを読む

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Q3つの未知数・3つの方程式

こんにちは。おそらくかなり基本的なことですが困っております。
(1)…2X-3Y-Z=2
(2)…-X+3Y+2Z=-10
(3)…3X-6Y-3Z=12

という3つの未知数と3つの方程式なので、未知数は一つに定まるはずですけれども、どうしても求めることが出来ません。

どなたか解法を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(2)+(3)が (1)と同じ式になってしまいます。
従って、3つの未知数・2つの方程式ですから、求まりません。
ちなみに、
(1),(2),(3)の式から代入法により
 X+2 = Y = ーZ-6 が求められます。
 これは、三次元の直線の方程式ですから、
 (X,Y,Z) は 、(1,3,-9) 、(2,4,-10)、 (5,7,ー13)など無限にあります。

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.


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