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四角形ABCDのどの角も2直角より小さいとする この四角形内に点Oがあり、Oを通るどの直線によっても四角形の面積が2等分されるという このとき、四角形ABCDは平行四辺形であり、Oは2つの対角線の交点である事を証明せよ

解説は点Oを通る3本の直線を図のように引くと、題意により、△OEF=△OE'F'(1) △OFG=△OF'G'(2)
(1)(2)の値をそれぞれx,tとおくと EF:FG=s:t E'F':F'G'=s:t ここでADとBCが平行ではないとするとEを通って
BCに平行な直線を図のようにとればEH:HI=E'F':F'G' したがってEF:FG=EH:HIとなるが、これは

FH//GIを示しているから矛盾である よってAD//BCである、同様にしてAB//CDであるから□ABCDは平行四辺形である とあるのですが

最初の題意により、△OEF=△OE'F'(1) △OFG=△OF'G'(2)とありますが、何故(1)(2)がなりたつのですか?
EF:FG=s:t E'F':F'G'=s:t とありますが、これも何故成り立つのか分かりません

EH:HI=E'F':F'G' したがってEF:FG=EH:HIとなるの所も分かりません

同様にしてAB//CDの所も省略されていますが、証明の方お願いします

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A 回答 (2件)

最初の題意により、△OEF=△OE'F'(1) △OFG=△OF'G'(2)とありますが、何故(1)(2)がなりたつのですか?


(理由)線分FF´によって四角形は面積が等分される。また、線分EE´によっても面積が等分される。
四角形F´CDの面積と、四角形EE´CDの面積は元の四角形の面積の半分なので等しい面積をもつ。
さらに、二つの四角形は三角形OFEを加えて、OF´E´を削除した結果面積が保存されるのだから、
この2つの三角形は等しい面積を持つ。、△OEF=△OE'F'(1)が成立する。(2)も同様。


EF:FG=s:t E'F':F'G'=s:t とありますが、これも何故成り立つのか分かりません
(理由)2つの三角形OEFとOFGは同じ高さの三角形であるから、面積の比は底辺の長さの比になる。
よって面積がs:tならば底辺の比もs:tとなる。


EH:HI=E'F':F'G' したがってEF:FG=EH:HIとなるの所も分かりません
(理由)三角形OHEと三角形OF´E´は相似であり、対応する辺の比は等しい。よってOH:OF´=HE:F´E´。
さらに三角形OIHと三角形OG´F´は相似なので、対応する辺の比は等しい。よってOH:OF´=HI:F´G´。
よって、OH:OF´=HE:F´E´=HI:F´G´。
これより、HE/F´E´=HI/F´G´。この分母を払ってHE*F´G´=HI*F´E´。
よって、HE/HI=F´E´/F´G´=s/t。よって、EH:HI=E'F':F'G' 。
EF:FG=EH:HIは、この比がs:tなので等しくなる。


同様にしてAB//CDの所も省略されていますが
(理由)四角形を90度回転してOを通る3本の線を新しく引けばこれまでの話と同じになる。

この回答への補足

>四角形F´CDの面積と
書き間違いだと思うのですが、FF'CDですか?

補足日時:2014/09/08 05:53
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そうです。

書き間違えました。

この回答への補足

分かりました、有難うございました

補足日時:2014/09/08 06:12
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/09/08 06:13

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