痔になりやすい生活習慣とは?

次の連立不等式の表す領域をDとする。
(x-1)^2+(y+1)^2≦1
(x-y-1)(x+√3y-1)≧0

(1)領域Dの面積を求めよ
(2)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

答え
(1)5π/(12)-√3/4-1/2
(2)x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3

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A 回答 (2件)

(x-1)^2+(y+1)^2≦1 (1)



(x-y-1)(x+√3y-1)≧0   (2)


(1)領域Dの面積を求めよ

この問題を解けるためには(1)、(2)が表す図形を完全にxy-平面上に描けて、Dがどこかを示せる必要があります。Dの面積を求めるというのは図が描ければ中学生の知識でできます。図が描けるというのは相当な実力です。図は以下のようになっていれば正解です。


(1)は中心C(1,-1)の円の中側(境界を含む)

(2)は2直線

x-y-1=0     (2)

x+√3y-1=0    (3)

で挟まれた向かい合う2つの領域で、原点O(0,0)を含む側Aとこれに向かい合う領域Bです。A,Bは2直線の交点P(1,0)で向かい合います。
従ってDはAと(1)の円の共通領域A'と、Bと(1)の円の共通領域B'の2か所です。

円(1)と直線(2)の交点はPとQ(0,-1),円(1)と(3)の交点はPとR(1+√3/2、-1/2)は解りますか。

A'は4等分した円から頂点をP,Q,Cとする直角三角形を取り除いたものであることは解りますか。円の面積はπ。

よってA'の面積はπ/4-1/2

B'は円弧PRとCP,CRで囲まれるピザパイ型部分から⊿PRCを除去したものです。中心角PCR=60°は解りますか。よって⊿PCRか辺の長さ1の正三角形で面積は√3/4,従ってB'の面積はπ/6-√3/4

A'とB'の面積の合計はπ/4-1/2+π/6-√3/4=5π/(12)-√3/4-1/2


(2)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

k=x+√3y   (4)

とおくとkを定数とすると、これは直線の方程式で直線(3)に平行な直線であることがわかりますか。(3)はk=1の場合。

x+√3yの最大値と最小値を求めろということは直線(4)をkを変えながら(平行移動しながら)kが最大になる点と最小になる点を見つけろということです。

最大は(4)がA'の円弧に接する場合、最小はB'の点Qを通る場合というのが図から直ちに読み取れますか。

最大:

(4)と(1)の円(x-1)^2+(y+1)^2=1を連立してxまたはyだけの2次式にして重解条件D=0が定石

2次式は

(k-1-√3y)^2+(y+1)^2=1

4y^2+2[1-√3(k-1)]y+(k-1)^2=0   (5)

D=[1-√3(k-1)]^2-4(k-1)^2=0

(k-1)^2+2√3(k-1)-1=0

k-1=-√3±-√(3+1)=-√3±2

k=1-√3±2

(3)よりも上にくるためにはk>1

よってk=3-√3が最大値。

この時(5)より

y=-[1-√3(k-1)]/4=(√3-2)/2

(4)よりx=k-√3y=3/2

最少:Qを通るとき

x=0,y=-1,k=x+√3y=-√3

以上より


x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3
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この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2014/09/10 20:18

(1)


連立不等式の領域を表す図をかいてテキトーに求める

(2)
軌跡の基本問題。軌跡を求めて微分で最大最小求める。(2次関数の頂点とかでもいけるかもね)
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