仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

(問題)
どのような実数c1、c2に対しても関数f(x)=c1e^(2x)+c2e^(5x)はf``(x)-(あ)f`(x)+(い)f(x)=0(1)を満たす。
(解答)
f`(x)=2c1e^(2x)+5c2e^(5x),f``(x)=4c1e^(2x)+25c2e^(5x)より、
(1)は(4-2あ+い)c1e^(2x)+(25-5あ+い)c2e^(5x)=0(2)
(2)は全てのx、c1、c2について成り立つから、4-2あ+い=0かつ25-5あ+い=0.
(疑問)
教科書にはxの整式P,Qについて
P=Q⇔PとQの係数が等しいとあります。これは全てのxについて成り立つというときは当然だということはわかります。
上のような変数が複数(上ならばx、c1、c2の3つ)のときはどう考えよという方針はあるのでしょうか?それとも自分でその都度見出すものなのでしょうか?なにかこう考えるとよいという方針があれば決めておきたいです。教えてください。

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A 回答 (3件)

 変数がいくつあろうと同じ事で、本質は一次式です。


 変数n個を並べて作ったn次元ベクトルtを考える。このn次元ベクトルの集合をTとし、Tの上で二つの一次式 a・t, b・t が定義されているとします。a, bはそれぞれn次元ベクトルで、" ・ "はベクトル同士の内積です。
 で、Tの部分集合Vを考えます。このときに、
  (∀t(t∈V ⇒ a・t = b・t)) ⇔ (a=b)
つまり「Vに属するどのtについてもa・t=b・tである、ということと、 a = b ということとは同値である」が言えるとき、Vには互いに線形独立なベクトルが少なくともn個入っている。
 そして逆も言えます。すなわち、Vに互いに線形独立なベクトルが少なくともn個入っているなら、「Vに属するどのtについてもa・t=b・tである、ということと、 a = b ということとは同値である」が言える。
 

 さて、ベクトルtの成分はどれも複素数であるとし、k番目の成分をt[k]と書くことにします。で、t∈Vにおいてはベクトルtの成分であるn個の変数同士が互いに無関係ではなくて、
  ∀t(t∈V ⇒ ∃z(z∈複素数 ∧ ∀k(k∈{1,2,…,n} ⇒ x[k] = z^(k-1)))
という条件を満たす場合を考えます。つまり「t∈Vなら、ある複素数zが存在して、どのk (k=1,2,…, n) についてもt[k] = z^(k-1)となる」わけです。このとき、tの代わりにzを使って
  a・t = Σa[k]z^(k-1)
  b・t = Σb[k]z^(k-1)
と書けますね。(ただしΣはk=1~nについての総和です。)これこそが整式です。
 で、Vとして目一杯大きい集合
  V = {(x[1],x[2],…,x[n]) | ∃z(z∈複素数 ∧ ∀k(k∈{1,2,…,n} ⇒ x[k] = z^(k-1)) }
を考える。すると、Vの要素tについて、その成分z^(k-1) (k=1,2,…,n)はどれも、他の成分の線形和(適当な係数を掛けて足し合わせたもの)では表せない(どのz∈複素数についても成立つ式(恒等式)として表せない)。ですから、上記の一次式の話がそのまま使えます。(しかし、Vはなにもそんなにでっかい集合じゃなくたって、わずかn個の成分を持つだけでも足りる訳です。)

 ご質問の例ではn=2であって,
  V = { t | ∃x(x∈実数 ∧ t[1] = e^(2x) ∧ t[2] = e^(5x) ) }
つまり、「t∈V とは t[1] = e^(2x) かつ t[2] = e^(5x)となる実数xがあること」という風に考えれば、一次式
  f = a[1]t[1] + a[2]t[2]
はxを使って
  f = a[1]e^(2x) + a[2]e^(5x)
と書けます。で、「Vに属する全てのtについて」とは「実数であるすべてのxについて」と同じこと。そして、e^(2x)とe^(5x)は互いに線形独立なので、上記の一次式の話がそのまま使える。という訳です。
 もちろんVはそんなにでっかい集合である必要はない。どれかの回答でx=0とx=1の二つの場合を考えろ、というアドバイスが出ているのは、ベクトル(e^(2×0), e^(5×0))と(e^(2×1), e^(5×1))とは互いに線形独立なVの要素だ、ということですね。

 一方、「任意の実数xについて
  a[1]x + a[2](2x) = b[1]x + b[2](2x)
」という話の場合には、ベクトルtを t=(x, 2x) としても成分同士が線形独立になってませんから、(当然ながら)上記の話は使えません。
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こんばんわ。



>教科書にはxの整式P,QについてP=Q⇔PとQの係数が等しいとあります。
なんか表現が抜けていませんか?こういうところはきちんと書ける・書くように心がけておいてください。いざというときに、しょうもないミスを犯してしまいますよ。

で、そもそも、いまの問題は「整式ではありません。」
なので、この問題は単なる係数比較というものでもありません。
(2式)を単純にA・C1・e^(2x)+ B・C2・e^(5x)=0と係数を置きなおすと、
任意のxに対して、e^(2x)>0、e^(5x)>0であるから、
 1)C1=C2=0のときは、明らかに(左辺)=0
 2)C1=0かつC2≠0のとき、B=0でなければならない。
 3)C1≠0かつC2=0のとき、A=0でなければならない。
 4)C1≠0かつC2≠0のとき、A=0かつB=0でなければならない。

これらを組み合わせた結果が、A=0かつB=0だということです。

4)については、e^(3x)=-(B・C2)/(A・C1)という式が導かれますが、
これは係数C1とC2が与えられたときに特定のxについて成り立つ式なので、
任意のxについて成り立つ式とはなりません。
逆に、xが特定されないために、A=0かつB=0としているとも言えると思います。
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難しく考え過ぎです。



c1=1, x=c2=0とおくと4-2あ+い=0
c2=1, x=c1=0とおくと25-5あ+い=0

となることを確認してみてください。
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