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f(x)の逆関数をg(x)とする。f(1)=2、f‘(1)=2、f‘‘(1)=3のとき、g‘‘(2)の値をもとめよ。

y=g(x)とすると、f(x)はg(x)の逆関数だから、x=f(y)ゆえに、dx/dy=f‘(y)。
よって、g‘(x)=dy/dx=1/f`(y)
g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)

(疑問)
私はg‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の部分で、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)=(d/dy)(1/(f`(y))^2)としてしまいました。

(d/dyをdy/dxにも適用してしまった)調べたところ、d/dyは直後の関数のみに適用するそうです。そうすると、(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の変形のところで、私は分数のように考えてこの式へ変形したのですが、dy/dxは1/f`(y)の直後に書かなくてはならないですよね?(分数といっても交換して(d/dy)(dy/dx)(1/f`(y))のようにしてはダメ。)
合成関数の微分法で、分数のように変形する場合は直後に付け加えていくということでしょうか?

A 回答 (4件)

#2です。



>d/dx= (dy/dx)(d/dy)
>はどのように考えているのでしょうか?
>(分数のように形式的に考えると、今回のような間違いをしそうなので原理が知りたいです)

1階微分については分数のように扱って構いません。なので、
d/dx= (dy/dx)(d/dy)と分母・分子にdyを挟み込んだような式が立てられます。

これって、置換積分のときにも同じようなことをしてますよ。
∫x*(2*x^2+3)^4 dxの計算で、2*x^2+3=uとおくと 4x・dx=duとなります。
これは(du/dx)・dx=duという式を考えていることになります。

>(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)=(d/dy)(1/(f`(y))^2)としてしまいました。
ここなのですが、どのような計算をしたのでしょうか?
「分数のように形式的に考えて」間違いをしたようには思えないのですが・・・
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#1の補足について。



>(例)y=(sinx)^2の微分

次のように考えましょう。

y=z^2
z=sinx

このときyはzの関数であり、
zはxの関数です。

y=z^2=f(z)
z=sinx=g(x)

のように関数記号f,gを定める
ことにします。

このとき

y=f(z)=f(g(x))

となります。f(g(x))のように
複数の関数が入れ子になって
いるのでこういうのを合成関数
といいます。

yはzの関数でありxの関数でも
あるわけです。xの関数である
ことを強調するために

y=f(g(x))=h(x)のように関数
記号hを定めることにします。

合成関数の微分法とは即ち

h'(x)=f'(g(x))g'(x)

のことをいいます。
ライプニッツ式に書き直すと

(dh/dx)(x)={df/dz(g(x))}{dg/dx(x)}

となります。右辺をどう解釈す
るかというと

(z=g(x)におけるdf/dzの値)
掛ける(xにおけるdg/dxの値)

なのです。
(例)の場合でいうと

y=z^2=f(z)
z=sinx=g(x)

でしたから、

(dy/dz)(z)=f'(z)=2z

なので

(dy/dz)(sinx)=f'(sinx)=2sinx

です。

(dz/dx)(x)=g'(x)=cosx

とあわせて

(dh/dx)(x)=h'(x)
=f'(sinx)掛けるg'(x)
=2(sinx)cosx

となります。
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こんばんわ。


慣れていないと、微分記号は極力使わない方が無難なのですが・・・

で、これをさらにもう1回微分するわけですが、、
 g ''(x)= (d/dx){ 1/f '(y) }

だということです。で、{ }の中が「yの関数」になっているので、微分する変数を書き換えようと考えます。つまり、d/dxを
 d/dx= (dy/dx)(d/dy)

として、yの微分に書き換えます。このように書けば、(dy/dx)は前に出てしまいます。
解答のような書き方をするのであれば、わたしなら
 g ''(x)= (d/dy)( 1/f '(y) )・(dy/dx)

のように「・」といった記号をあえて入れておくようにします。
でも、先のように書いておけば、変数を書き換えた(置換した)ということが明示的にもなるので、よいのではないかと思います。

あと、微分記号が分数のように扱えるのは、1階微分だけです。2階以上の微分は、分数のように扱えないのであしからず(いまの問題でも)。

この回答への補足

d/dx= (dy/dx)(d/dy)
はどのように考えているのでしょうか?(分数のように形式的に考えると、今回のような間違いをしそうなので原理が知りたいです)

補足日時:2014/09/08 03:18
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合成関数の微分法を漢文の書き下し


かなにかと勘違いしてませんか?

>私は分数のように考えてこの式
>へ変形した

そんなことしてはいけません。

>dy/dxは1/f`(y)の直後に書かなく
>てはならないですよね?

そんなふうに考えてはいけません。

>分数のように変形する場合は

そう考えることがマチガイ。
分数ではありませんから。


>g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)の部分で

右辺の(d/dy)と(1/f`(y))とは掛け算
の関係ではありません。
yに1/f`(y)を対応させる関数をhとして
(d/dy)(1/f`(y))=dh/dy
と読むべきなのです。

妙なマチガイを防ぐには
{(d/dy)(1/f`(y))}(dy/dx)
などと{}をつけて強調しておくといいかも。

dy/dxは「dy割るdx」ではないんです。

この回答への補足

g‘‘(x)=(d/dx)(g`(x))=(d/dy)(1/f`(y))(dy/dx)
は(例)y=(sinx)^2の微分

まず、2()と()で微分してその中身sinxをもとのxで微分する。

同様に、まず、yで微分して、というのはわかりますがなぜ、yをxで微分するのかがわかりません。
うえの例と対応させる形で教えてください。どうしてもピンときません。

補足日時:2014/09/08 02:43
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