高校数学の直観力を見る問題です

平面π上に正三角形ABCがある　π上の点PについてPA+PB>=PC(1)

が成り立つことを既知としてπ上にない点PについてPA+PA>PCが成り立つことを証明せよ

解説はPC>PA,PC>PBの場合を考えれば十分

Pかπに下ろした垂線の足をHとすると(1)によりHA+HB>=HCが成り立つから

(P^HA)+(PB-HB)>PC-HC(2)を示せばよいが図(AHとCHを重ねてある)により
PA-HA=PA'>PQ>PC'=PC-HCであるから(2)が成り立つ

とあるのですがPA-HA=PA'>PQ>PC'=PC-HCのPA'>PQ>PC'=PC-HCが分かりません、A'は勝手に取った点だと思うのですが、PA-HAってまずPHですよね、見た目ではPHの方がPA'より大きそうですが、これも納得できないですし、PA'>PQ>PC'が成り立つのも分かりません

PC'=PC-HCが何故同じになるのかも分からないです

※添付画像が削除されました。

No.11 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 16:58

>PA^2・2cosθ(cosθ-1)じゃないですか？何度やってもそうなるのですが。

確かに。間違えました。結論は変わりません。

それと、これは 1-cosθ = sinθは間違いということです。

＞それとPA'>PQ>PC'=PC-HCが分かりません

PC'=PC-HC は PA' と同じ話だからよいとして

PA'>PQ>PC' がわからないということでしょうか？

言葉や数式より図を見てわかるよね　というのがこの問題の
趣旨だと思うのですが、わかりません？

あえて説明すると、CH は AH より大きいから、Cを中心に H を出発する円周を描けば
AP と交わる点は A' より P よりの Q になるのは当たり前ですよね。

C' は CH を中心とする円周状で P に最も近い点だから、PC' < PQ も当然。

この回答への補足

>PC'=PC-HC は PA' と同じ話だからよいとして
この図を見るとCC'とCHは同じみたいな記号、例えAA'とAHは同じと言う記号が打ってあるのですが、そういうのが無いですが、CC'とCHも同じ長さなのですか？そうだとしたら、何故そうだとわかるのですか？

>PA'>PQ>PC' がわからないということでしょうか？
はい、C'なんてどこに打つかPC'はでPA'より大きくなってしまいますから、理由が必要です、Qも持ち出した理由とかOQとPC'だったらどっちが大きくなってもおかしくないので理由が必要だと思います

補足日時：2014/09/14 17:14

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 17:14

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 18:57

>CC'とCHも同じ長さなのですか？

と図面に書いてあります。

この回答への補足

図には等号を表す記号が無いようですが、どこに書いてるんですか？問題文にも書いてないですしPQ>PC'=PC-HCの所もお願いします

補足日時：2014/09/14 20:00

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 20:00

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 14:10

ANO9 です一応図面一目瞭然ですが、証明も簡単なので

角度PAH=θとすると、仮定からPH>0 なので 0<θ<90度

図から AA' = AH なので

PA' = PA-AA' = PA-AH = PA-PAcosθ = PA(1-cosθ)
一方 PH = PAsinθ

(PA')~2 = PA^2・(1 - 2cosθ + (conθ)^2)

(PH)^2 = PA^2・(sinθ)^2

(PA')~2　- (PH)^2 = PA^2・(1-2cosθ +(conθ)^2-(sinθ)^2)
= PA^2・(2cosθ + 2(conθ)^2)=PA^2・2cosθ(1+cosθ)>0

従って PA' = PA-AA' = PA=AH ≠ PH

この回答への補足

>PA^2・(2cosθ + 2(conθ)^2)=PA^2・2cosθ(1+cosθ)>0
PA^2・2cosθ(1+cosθ)じゃなくてPA^2・2cosθ(cosθ-1)じゃないですか？何度やってもそうなるのですが。

それとPA'>PQ>PC'=PC-HCが分かりません

補足日時：2014/09/14 16:37

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 16:38

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 13:21

>A'は勝手に取った点だと思うのですが

図では AA'=AH となってます。

逆に質問しますが PA―HA= PHなんて
どうやったら出てくるのですか?

私には理解できないので説明して下さい。

なんとなく？

この回答への補足

すいません、三平方と勘違いしてました、長さがAA'=AHも見落としてました、PA-HA=PA'は理解できました

補足日時：2014/09/14 16:35

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 16:35

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 06:03

そうか

>PA+PA>PC
じゃなくて
PA+PB>PC

なんですね。質問と本物の問題との違いを見落としてました。
もっと早くきずくべきでした。

とするとPの位置にかかわらず、pが兀上にいなければ
常に成立つ式だという証明だから、兀上のPと兀上にないpを関係は
証明に都合のよいように決めればよいですね。

でπ上のP=Hは兀上にないPの垂線の足とすると

>PA-HAってまずPHですよね

そんなはずないです。PA′です。PHとは別物。

この回答への補足

何だか解決されたようですね、では、こちらに理解できるように御説明を宜しくお願いします

補足日時：2014/09/14 06:08

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 06:08

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 04:55

解説から推察するに、π上ではないpのπへの垂線の足がπ上のPのはず。

問題にその記述がなければ変。
問題2を含む前数ページに
そういう記述はないですか？

共通の前提にたいして、幾つかの問題を提示しているように見えるけど?
違います?

この回答への補足

うーん、問題自体は本当にあれで全部なんです、その上に別の問題なんですが、記号がPとかQとか使っているので、一応載せておきましょうか？というか、

もう一つの直観力を試す問題とかってタイトルでこちらに質問しているので、それなんですが、一応それの問題のURLで張っておきますね、それ以外はもう、この問題に関係していそうな事は何にも無いですね

問題http://imgur.com/OWEBlPN
解説http://imgur.com/VqvEq3f

補足日時：2014/09/14 05:04

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 05:04

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 04:35

>いえ、問題文はあれで全部です

ありえません。よくさがしましょう。

この回答への補足

いや、そんな事言われてもあれで全部ですよ？
一体何の条件が必要なのですか？

補足日時：2014/09/14 04:48

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 04:48

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 02:10

>問題

http://imgur.com/UdgDOA5

まだ写せてませんよ。

π上のPと兀上にないPの関係をあらわす
前文が問題2の前のどこかにあるはず。

よく探して下さい。

この回答への補足

いえ、問題文はあれで全部ですよ

補足日時：2014/09/14 02:28

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 02:29

No.4 回答者： myuki1232 回答日時： 2014/09/14 01:28

最低限、問題がわからないと回答できませんので、解説はいいので問題文をちゃんと写してください。

この回答への補足

分かりました、一応両方のURLを張りますのでそちらから御覧下さい

問題http://imgur.com/UdgDOA5
解説http://imgur.com/6bWKtgX

補足日時：2014/09/14 01:46

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 01:46

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/14 01:23

成立ちません。

また元の問題を写せていないのでしょう。

この回答への補足

では書き間違いがあるといけないので、問題と解説のURLを張りますのでURLを御覧下さい

問題http://imgur.com/UdgDOA5
解説http://imgur.com/6bWKtgX

補足日時：2014/09/14 01:45

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/14 01:45