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群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は

(1)HH⊂HかつH^(-1)⊂H
または
(2)HH^(-1)⊂H

であるということがありあすが、
HH^(-1)=Hだけで必要十分条件だと言えますか?

つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH^(-1)=H

は真でしょうか?(⊂でなく=)

できれば証明のヒントもください

A 回答 (4件)

>> 最初の五行の命題を仮定しなければH < G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、


御自分が書いていることの意味を、きちんと理解していますか。
支離滅裂な内容ですよ。
「最初の五行を補題として使わなければ、H < G <--> HH^-1 = H を証明できないのか」なら、一応意味だけは通じますけれど。
もう少し、一生懸命学問なさってください。

ただし、

>> こういうことでしょうか?(確認)
>> H < G <--> HH^-1 ⊂ H <--> HH^-1 = H
>> という論理関係でしょうか?
この部分に関しては、理解できたようですね。
御指摘の通り、それら3つの条件は互いに同値です。
ANo.2 で書いたように、H < G <--> HH^-1 ⊂ H を利用すれば、ほぼ集合論だけで H < G <--> HH^-1 = H を証明できます。
必ず、御自身で証明を完成させてください。
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この回答へのお礼

ようやく理解できました。

(1)(2) を使って証明を完成できました


何度もありがとうございます!

お礼日時:2014/09/14 17:58

群 G の空集合でない部分集合 H に対して、以下の命題



H < G <--> HH^-1 ⊂ H

を真だと認めていないのであれば、あなたの質問文において、最初の5行(群Gの部分集合Hが ~ であるということがありあすが、)は、何のために書いたのでしょうか。
ふざけるのも、いい加減にしてください。
とにかく、上の命題は真です。

で、

H < G <--> HH^-1 = H

は、成り立つに決まっているでしょう。
ANo.2 で、すでに十分すぎるほどのヒントを書きました。
まだ疑問点が残っているのなら、あとは自分で考えて解決してください。

この回答への補足

最初の五行は文脈を補っただけです。最初の五行の命題は真だと認めていますが(理解していますが)、自分が言おうとしているのは、最初の五行の命題を仮定しなければH < G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、という意味で「認めない(仮定しない)」と書きました。

すみませんm(__)m  書き方がおかしかったです。


質問に戻ります。

こういうことでしょうか?(確認)

H < G <--> HH^-1 ⊂ H <--> HH^-1 = H

という論理関係でしょうか?

すみません

補足日時:2014/09/14 11:30
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以下のことは、すでに認めているわけですよね。


H < G <--> HH^-1 ⊂ H

それなら、ほぼ集合論だけで疑問は解決します。
HH^-1 = H ならば HH^-1 ⊂ H であるから、H < G である(集合論しか使っていない)
逆に、H < G ならば 1 ∈ H = H^-1 であるから、H の任意の元 h に対して h = h・1 ∈ HH^-1 が成り立つ(あとは、集合論で仕上げてください)

この回答への補足

> 以下のことは、すでに認めているわけですよね。
> H < G <--> HH^-1 ⊂ H

いや、認めていません。
単純にHH^(-1)=Hだけで必要十分条件だと言えるかが疑問です。

お願いします

補足日時:2014/09/14 10:25
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 証明のヒントはですね、HHとかHH^(-1)ってどういう意味か、と考えることです。



 整数全体の集合Qと普通の足し算+との組(Q,+)は群になってます。という具体例で考えると、
 (1)の条件は
  (1) H⊂Q ∧ ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ (x+y)∈H) ∧ ∀x(x∈H ⇒ -x∈H)
ということ。たとえばHが整数全体の集合ならこれを満たすけれど、Hが自然数全体の集合なら満たさない。
 さて、(Q,+)においてH⊂Qのとき、
  HH^(-1) = {0}
なのだから、(2)の条件は
  (2) H⊂Q ∧ {0}⊂H
ということ。Qの部分集合Hが0を要素として含む、というだけの条件なので、(2)はHが(Q,+)の部分群であることの必要十分条件なんかではない。
 で、ご質問の条件は、(Q,+)においてH⊂Qのとき
  H⊂Q ∧ {0}=H
ということ。

この回答への補足

おっしゃる趣旨がわからないんですが、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH^(-1)=H

は真でしょうか?(⊂でなく=)

補足日時:2014/09/14 04:01
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