お世話になります。
「Q&A数学基礎論入門」(久馬栄道著・共立出版)を読んでいます。
次の問題がわかりません。
P.55
∈に関する帰納法
∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x)
問題24
自然数に関する帰納法では 0 で成り立つことがはじめに必要であるが、
∈に関する帰納法ではこのようなものがない。なぜか考えよ。
(次にこう書いてあります)
命題論理でA→BのAがFならば、この式がいつでもTであることを
思い出せ(そして x∈φの真理値がFであることも)。
ずーと考えました。でもわかりません。
どなたか答を教えて下さいませんか。
よろしくお願い致します。
No.7
- 回答日時:
えっと、この質問のニュアンスは、
*自然数に関する帰納法では「A(0)が成り立ち、A(n)が成り立つならA(n+1)が成り立つなら全ての自然数nに対してA(n)が成り立つ」みたいに書いているけど、
*∈に関する帰納法では
「∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x)」と書くだけで、これが
「(A(0) ^ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) )→∀xA(x)」と同じ意味になることを確かめよ、という事です。つまり∀x(∀y∈xA(y)→A(x))と書くだけで「A(0)が成り立つことは仮定していることになる」ということを確認せよ、ということですが、いいですか?
> ∀y(y∈0→A(y))→A(0)
> の真偽値がTであることが分かれば
A(0)が真でなければ真になりません。そうでなくて、「∀y(y∈0→A(y))→A(0)」(の真偽)と「A(0)」(の真偽)が等しいことを確認せよ、という事。
tmpname様、何度も回答ありがとうございます。
∀y(y∈0→A(y)) の真偽値はTだから
∀y(y∈0→A(y))→A(0) の真偽値と
A(0) の真偽値が等しい。
ゆえに
∀y(y∈0→A(y))→A(0) と A(0) は同値である。
従って
[A(0) ∧ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) ]→∀xA(x)
の A(0) は
∀x(∀y∈xA(y)→A(x) の中に含意されている。
と考えればいいのですね。
No.6
- 回答日時:
要は、y∈0→A(y)というのは任意のyについて成り立つのだから、∀y(y∈0→A(y))というのはA(y)が何であろうが「常に正
0)』という式の「∀y(y∈0→A(y))→」というのは(常に正しいのだから)「条件がないのに等しい」ことは分かりますか?あっ、分かった。
tmpname様、質問にお付き合い下さって、どうもありがとうございます。
私は問題の意味を取り違えて受け取っていました。
「A(0) が成り立つことを証明せよ」 と思っていました。
∀y(y∈0→A(y))→A(0)
の真偽値がTであることが分かればそれでいい訳ですね。
問題の意味は
[∀x(∀y∈xA(y)→A(x))]→∀xA(x)
の仮定[…]部分が x=0 の時に真であるということを説明せよ、
ということですね。
No.5
- 回答日時:
> x にφを代入して
> ∀y∈φA(y)→A(φ)
なぜそこでまた「省略記法」に戻すのか...
そうでなくて、きちんと
∀y(y∈0→A(y))→A(0)
と書いてみる。で、「y∈0を満たすy」って何でした(ありました)っけ?(空集合の定義は?)
それを考えると、「y∈0→A(y) を満たすy」というのが何か分かるのでは?
回答ありがとうございます。
y∈0を満たすy は存在しません。
ですから
y∈0 : F
y∈0→A(y) : T
たぶん
∀y(y∈0→A(y)) : T
この先は・・・
分かりません。
んー、私の頭は悪い。本当にこの本、読めるのだろうか?
まだ、おもしろそうだな、と思っておりますが。
No.2
- 回答日時:
というか、ひょっとしたら
∀y∈xA(y)→A(x)
という「省略記法」をつかっているので混乱しているのかもしれない。
この辺り
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8733851.html
を「参考にして」(この通りではないけど)、一度∀y∈xA(y)→A(x)というのを「きちんと書き直す」とすっきりするのかも。
回答ありがとうございます。
∀y∈xA(y)→A(x) をきちんと書き直すと
∀y(y∈x→A(y))→A(x) だと思います。
x にφを代入して
∀y∈φA(y)→A(φ)
この真偽値を考えるのですが分からないのです。
私、頭がバカですが、みなさんに教えて頂きながら
読んでみたいと思っております。
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