とくに軌跡の問題で必要性と十分性について

　　こんにちは。
　　問題で　、○○の点Ｐの軌跡を求めよ
について
　条件から方程式を求めるのが、
　　問題文に必要な条件式はなんだろうと考え、必要性（必要条件）を求めた
のかと考えていいのでしょうか。
そして、この方程式で問題文の条件が十分満たしているかを確認するのが
十分性（十分条件）となるのでしょうか。

　命題のp⇒q　が真のとき
　　　　pはqであるための十分条件　を考えたときに
　　　問題文は求めた方程式であるための十分ではなく必要？と上のことと
　混同しているのか理解できません。

　さらに、数学の問題を解くのは、すべて必要条件と考えるのでしょうか
　⇒）必要性
　逆）十分性

　たとえば
　　点Ｐ（ｘ、ｙ）が円（x-2）^2+(y-1)^2＝16の内部にある
　⇒　中心(2,1)からＰ（x,y）までの距離が4より短い（小さい）
　⇒　√(x-2)^2+(y-1)^2<4
⇒（x-2）^2+(y-1)^2<16
は必要性（必要条件）を求めているのでしょうか。
　この逆が（下から上へ）十分性（十分条件）を求めることに
なっていますか。
　
　よろしくお願いします。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/09/17 14:08

　ある性質（述語、条件）Q(p)を満たすような点pの「軌跡」ってのは、Q(p)を満たすような全ての点pから成る集合A

　　A = { p | Q(p)}
のことです。つまり、∀p(p∈A ⇔ Q(p)) であるようなAのこと。AはQ(p)を満たす全てのpを含み、Q(p)を満たさないどんなpも含まない。で、その軌跡を「求む」と言われたら、Aの要素を具体的に表すことが要求されている。

　また、「方程式f(p)=qを解け」と言われたら、それは解の集合S
　　S = { p | f(p)=q }
の要素を具体的に表すことが要求されている。もちろん、 ∀p(p∈S ⇔ f(p)=q) であり、つまり、 Sは全ての解を含み、解でないものを含まない。

　どちらも必要十分条件を考えなくちゃいけません。


>　　点Ｐ（ｘ、ｙ）が円（x-2）^2+(y-1)^2＝16の内部にある

>　⇒　中心(2,1)からＰ（x,y）までの距離が4より短い（小さい）

>　⇒　√(x-2)^2+(y-1)^2<4

> ⇒（x-2）^2+(y-1)^2<16


　この例に出て来る ⇒ はどれも ⇔ に差し替えることができる。隣り合う行に書いてある命題が互いに必要十分条件（つまり、単なる言い換え）になっている、いわゆる「同値変形」ってやつですね。
　ところで、⇒を、ナントナク「左から右への進行」というイメージで捉えていらっしゃるような気がします。でも、もちろん⇒にそういう意味が含まれていないことはお分かりのはず。

　数学の問題は同値変形がスベテというわけではない。たとえば、「p, qが2より大きい素数のとき、p+qは偶数であることを証明せよ」と言われたら、「2より大きい素数であること」は「奇数であること」の十分条件だ、ということを使って、「p, qはどちらも奇数である」という命題を導き出すことになりましょう。この場合「2より大きい素数」の必要十分条件に拘ってたら、多分出来ないんじゃないかな。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/09/17 13:34

十分条件⇒必要条件

の関係がありmす。

従って


点Ｐ（ｘ、ｙ）が円（x-2）^2+(y-1)^2＝16の内部にある ⇒（x-2）^2+(y-1)^2<16

ならば

（x-2）^2+(y-1)^2<16を満たす点(x,y) ⇒ 円（x-2）^2+(y-1)^2＝16の内部にある

を示せば両者は同値、つまり相互に必要十分条件になります。