ばね(自然長l、ばね定数k)でつながれた質量m1の質点Bと質量m2の質点Cがなめらかで水平な床の上に静止している。床上を速度v0で滑ってきた質量m0の質点Aが質点Bに衝突(弾性衝突)した。
(1)質点B,Cの重心の座標Xとばねの伸びYは?
(2)XとYを満たす方程式は?
(3)初期条件はt=0のときx1=0、x2=およびx1''=v1,x2''=0
X(t),Y(t)は?
(4)質点B、Cを質量m1+m2の1つの物体とみなしたとき、質点Aとこの物体との跳ね返り係数eは?この値は1より小さくなる。
質点Aが持っていた運動エネルギーの一部が質点B、Cからなる質点系の( )の運動のエネルギーに使われるからである。( )に当てはまる言葉は?
質点B、Cについての運動方程式は、
mx1''=k(x2-x1-l)
mx2''=-k(x2-x1-l)と求めました。
(3)はX=(x1+x2)/2,Y=(x1+x2-l)/2と考えましたが、間違っている場合ご指摘お願します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)(2)からやってかないとだめでしょうね。
問題でどの量が与えられてるのか定かではありませんが、図を参照して
(1)重心Xは定義から X(t) = (m1 x1(t) + m2 x2(t) )/(m1+m2)
バネの伸びYはそのまま Y(t) = x2(t) - x1(t) - l
(2) B,Cについての運動方程式はあっているので、
そのまま加えて
m1 x1''(t) + m2 x2''(t) = d^2/dt^2 (m1 x1(t) + m2 x2(t) )
= d^2/dt^2 (m1+m2) X(t) = (m1+m2) X''(t) = 0
それぞれm1, m2で割って引き算すると
x2''(t) - x1''(t) = d^2/dt^2(x2-x1) = d^2/dt^2(x2-x1-l) = -(1/m1+1/m2)k(x2-x1-l)
換算質量μが1/μ = 1/m1 + 1/m2で定義されるので, Y(t)に置き換えて
μ Y''(t) = -k Y(t)
(3)(2)の方程式から一般解を求めて
X(t) = A + Bt
Y(t) = C cosωt + Dsinωt, ω=√(k/μ)
微分して
X'(t) = B
Y'(t) = -ωC sinωt + ωDcosωt
初期条件を使って
X(0) = (m1 x1(0) + m2 x2(0) )/(m1+m2) = m2 l / (m1+m2) = A
X'(0) = (m1 x1'(0) + m2 x2'(0) )/(m1+m2) = m1 v1/(m1+m2) = B
これから
X(t) = (m2 l + m1 v1 t)/(m1+m2)
Y(0) = x2(0) - x1(0) - l = 0 = C
Y'(0) = x2'(0) - x1'(0) = -v1 = ωD ∴ D = -v1/ω
したがって
Y(t) = -(v1/ω)sinωt
(4) AとBは弾性衝突なので
(v0' - v1)/(v0 - 0) = -1
から
v0' = v1-v0
B+Cは重心を考えてはね返り係数を求めると、定義より
e = - (v0' - X'(0))/(v0-0) = -[(v1-v0)-m1v1/(m1+m2)]/v0 = 1 - m2v1/v0(m1+m2)
この値は1より小さくなる。
質点Aが持っていた運動エネルギーの一部が質点B、Cからなる質点系の(相対運動)の運動のエネルギーに使われるからである。
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